Cuando lanzamos una peonza observamos una serie de movimientos aparentemente independientes unos de otros. Por una parte tenemos la rotación de la peonza sobre su eje de simetría, tal vez sea el menos llamativo de todos los movimientos que puede realizar. Cuando la peonza empieza a inclinarse, su eje de simetría describe un movimiento en torno a la vertical (como describiendo un cono), que se conoce con el nombre de precesión. Finalmente, es posible lograr un tercer movimiento, llamado nutación, consistente en un acercamiento de la peonza a la vertical; coloquialmente, lo que se conoce como “bamboleo”. Será a este tercer movimiento, la nutación, al que dedicaré la mayor parte del post.

En realidad deberíamos añadir el movimiento de traslación del centro de masas de la peonza, pero podemos prescindir de su estudio al considerar un sistema de referencia en movimiento con él (solidario); esto nos permitirá considerar el problema de la peonza como el clásico ejemplo de sólido rígido simétrico con un punto fijo.

Si bien estos movimientos no son nada nuevo para quien alguna vez haya hecho bailar una peonza, tampoco lo son para la Mecánica Teórica. Para abordar este problema, consideremos el siguiente sistema de ejes:

Para quien tenga conocimientos básicos de mecánica, habrá notado que se trata de los Ángulos de Euler.

Si suponemos un sistema ideal sin disipación, de acuerdo con el principio de conservación de la energía tenemos que:

Donde “d” es la distancia entre el punto de apoyo y el centro de masas de la peonza.

En realidad deberíamos plantear primero el Lagrangiano del sistema para posteriormente calcular su Hamiltoniano; y una vez obtenido éste observar que no depende explícitamente del tiempo, lo que implica conservación de la energía.

Como consecuencia de que el potencial no depende ni del ángulo de rotación ψ ni del ángulo de precesión ϕ sus momentos conjugados se conservan. Estos momentos conjugados coinciden con las componentes sobre los ejes z y z’del momento angular L.

Esta última afirmación se debe, en parte, a que la energía potencial tampoco depende de las velocidades generalizadas.

Las expresiones para estos momentos son:

De estas dos expresiones podemos obtener la velocidad de precesión y de rotación como funciones de θ (ángulo de nutación):

Finalmente, incorporamos estas dos expresiones en la energía para llegar a una ecuación diferencial en el tiempo para θ:

Se puede llegar a una expresión integral para t(θ); que incluso se podría integrar. El problema viene a la hora de invertir la función t(θ) para lograr θ(t); no obstante, aún se pueden sacar algunas conclusiones sobre la nutación de la peonza.

El principal problema de resolver la integral de movimiento se encuentra en la aparición de integrales elípticas.

Como en toda ecuación diferencial que se precie, se necesitan unas condiciones iniciales. Para simplificar el análisis posterior fijaré la posición inicial en θ(0)=0, esto hace que los momentos angulares Lz y Lz’ sean iguales (para abreviar notación, llamaré L a Lz y Lz’) y que E’ = Mgd.

Lo cierto es que al elegir estas condiciones iniciales estamos perdiendo generalidad; pero opto por ellas porque de lo contario el estudio de la nutación se hace más enrevesado, aunque indicaré sus conclusiones al final.

Si aplicamos el cambio de variable u=cosθ, la ecuación diferencial para la nutación resulta:

Es decir, un polinomio de tercer grado en u; cuyas raíces son:

Dado que 2Mgd >0 y que una de las raíces es doble, g(u) es una de estas dos formas:

La demostración de que la raíz doble de un polinomio de grado 3 es a su vez un extremo roza la trivialidad.

Además, se tienen que cumplir que:

g(u)≥ 0 (porque g(u) es en realidad el cuadrado de una variable real).

-1≤u≤1 (porque recordemos que u es el coseno de un ángulo real).

Esto restringe la OPCIÓN A (u₃>1) a que u=cosθ=1, lo que implica θ=0: La peonza gira sobre sí misma completamente vertical, no se inclina.

Para la OPCIÓN B (u₃<1), existirá nutación siempre que u se encuentre entre uno y u₃.

El hecho de que u pertenezca a [1,u₃] implica que θ se encuentra en el intervalo [0, arccos(L²/2MgdI₁-1)].

Examinemos el caso límite (u₃=1):

Como L=I₃ɷ₃, entonces:

Si en lugar de imponer condiciones de contorno homogéneas hubiésemos establecido
θ(0)=θ₀, el interior de la raíz estaría multiplicado por cos θ₀; y la nutación no se daría hasta un cierto ángulo límite (arccosu₃); sino que el ángulo de nutación estaría comprendido por dos círculos límites θ₁ y θ₂, raíces de la función g(u) correspondiente.

Resumiendo, si la velocidad angular entono al eje z (eje de simetría de la peonza) es superior a su valor crítico no se produce nutación; sino que el eje de simetría de la peonza mantendrá un ángulo constante con la vertical. En cambio, si esta velocidad angular es inferior al valor crítico, observaremos un acercamiento y alejamiento del eje de rotación a la vertical (nutación).

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