Vuelvo al ataque sólo unos días después de publicar un post sobre la correspondencia Ads/CFT para mostrar a los incrédulos una de las apuestas más fuertes que existen actualmente para la confirmación experimental de las teorías de cuerdas (que sí leñe, que aunque algunos digan lo contrario sí son medibles): lo que se ha dado a conocer como cuerdas cósmicas.

Este concepto está fuertemente arraigado a los modelos de explicación del Big Bang a través de las teorías de cuerdas, en los que se asume que en los primeros momentos del Universo se generaron cuerdas con suficiente energía como para no ser microscópicas y que se expandieron conforme el espacio se extendía a consecuencia de los periodos de inflación y la inercia dejada por la gran explosión.

De esta manera, se asume que hoy día estas cuerdas tendrían tamaños descomunales (en comparación con las cuerdas microscópicas) capaces de generar efectos macroscópicos como el conocido de lente gravitatoria. Y es de hecho este efecto el que se busca medir a la hora de localizar estos hilos cósmicos, pues debido a curiosidades de la teoría de la relatividad general, estas cuerdas ¡no presentan atracción gravitatoria!, por lo que sería imposible localizarlas buscando su efecto inercial sobre otros objetos.

En efecto, al considerar una cuerda infinitamente larga como modelo a examinar, nos encontramos con que los efectos relativistas provocan que la fuerza atractiva total ocasionada por esta dependa de su tensión en la forma:

donde μ0 es la masa por unidad de longitud de la cuerda, T es su tensión y c es la velocidad de la luz.

Pues resulta que, para cuerdas surgidas de teorías de cuerdas (sí, frase enrevesada) esta resta es nula, por lo que no se ejerce atracción gravitatoria sobre otros cuerpos.

Sin embargo, pese a no ejercer fuerza gravitatoria sobre otro cuerpo, la cuerda sí curva el espacio, por lo que el efecto de lente gravitatoria sí se produce. Pero priemro, examinemos qué significa esto de lente gravitatoria.

La masa curva el espacio y, en consecuencia, la trayectoria de los haces de luz

Cuando situamos un cuerpo en el espacio, según la teoría de la relatividad general, este se curva ante la masa del cuerpo (el típico ejemplo de la pelota en la sábana) provocando que los cuerpos que tengan que pasar junto a eĺ curven su trayectoria debido a que el mismo espacio es curvo, recorriendo lo que se conoce como geodésica, que se puede “interpretar” como el mínimo recorrido que une dos puntos en ese espacio curvado, aunque no tiene porque ser siempre así.

Si bien en un espacio plano, como una hoja de papel, la geodésica es efectivamente el recorrido mínimo entre dos puntos y coincide con una línea recta, en otro tipo de geometrías no tiene por que ocurrir así. Imaginaos una esfera (nuestro querido planeta, por ejemplo) y dos puntos sobre ella. Bajo estas características existen dos geodésicas que unen los dos puntos y que se corresponden con los dos arcos que podemos trazar uniéndolos de manera que la distancia recorrida sea mínima y máxima, llamados círculos máximos. Igual que ocurre esto sobre una esfera, con otras geometrías curvas ocurre lo mismo.

Correctamente enunciado, una geodésica es una curva que vuelve estacionario el funcional de longitud de una curva cualquiera:

con la condición de ligadura dada por la métrica del espacio en el que se trabaje.

De esta manera, si nos encontrásemos con la situación en la que el espacio estuviese curvado de manera que las geodésicas no fuesen únicas y enviásemos un rayo de luz entre dos puntos, este las recorrería todas, debido al gran número de fotones lanzado que elegirían un camino u otro con la misma probabilidad; provocando que nosotros, simples mortales que no podemos advertir la curvatura del espacio, observásemos el haz de luz como proveniente de varios puntos a la vez, uno por cada geodésica recorrida; debido a que interpretamos que el haz siempre ha venido hacia nosotros en línea recta.

Es lógico, por tanto, suponer, que si una cuerda cósmica se interpone entre una fuente de luz y nosotros, la curvatura del espacio ejercido por esta provoque un efecto de lente gravitatoria que seamos capaces de advertir. Concretamente, el efecto gravitatorio creado por la cuerda provoca que, en torno a ella, el espacio sea, topológicamente, un cono; y sobre el cono resulta haber dos geodésicas que la luz es capaz de recorrer.

La curvatura provocada por la cuerda se puede cuantificar según el defecto de ángulo del cono, que no es más que el ángulo que forma el eje de simetría de la figura con su superficie.

Pese a que la figura en 3D es más visual, a la hora de tratar más adelante con este tipo de espacio curvo, conviene describirlo como una identificación sobre el plano complejo.

Tomamos pues, los puntos del plano de la forma Z=x+iy Descrito de esta manera, el cono se construye “recortando” del plano la región S={Z / 0 ≤ Arg(z) ≤ Δ} , donde Δ es el defecto de ángulo del cono y; posteriormente, realizar la identificación Z ~ exp(iΔ)·Z

El defecto de ángulo toma el valor:

donde G es la constante de gravitación universal.

Simulación del efecto de lente generado por una cuerda cósmica. Click para agrandar. Crédito: PhysicsWorld.com

Por tanto, cuando observásemos un objeto con una cuerda cósmica en la trayectoria de nuestra mirada, deberíamos ver este objeto dos veces, con una separación entre ambas imágenes del orden del defecto de ángulo del cono generado por la curvatura del espaciotiempo. Esta doble imagen sería característica de la presencia de una cuerda cósmica, pues otros cuerpos, como estrellas o agujeros negros, curvan el espaciotiempo de manera distinta, generando al menos cuatro imágenes deformadas. Por tanto, una observación de este fenómeno no podría dar lugar a un falso positivo.

En este sentido, el nombre de cuerda cósmica está justificado debido a que son impresionantemente pesadas, pasando a ser objetos macroscópicos aun cuando su efecto es pequeño. Una cuerda de seis kilómetros de longitud cuya separación entre ambas geodésicas es de apenas 4 segundos de arco tendría ¡la masa de la Tierra!. Evidentemente, cuerdas de este calibre no se espera que existan en la naturaleza, por lo que los defectos de ángulo esperados son aún menores y, por tanto, muy difíciles de medir.

Y esta es una de las razones de que todavía no se haya encontrado ninguna cuerda de este tipo. Si bien en los últimos años han surgido muchas imágenes candidatas a estar formadas por un efecto de lente de este tipo, la mayoría han resultado ser dos cuerpos distintos pero muy similares entre sí. Pese a ello, los astrofísicos y los teóricos de cuerdas no perdemos la esperanza de encontrar en los próximos años, y gracias a telescopios cada vez más potentes, como el GTC; evidencias directas de la existencia de este tipo de cuerdas; evidencias que no sólo nos indicarían que las teorías de cuerdas van por buen camino, si no que el modelo del Big Bang es un modelo acertado.

En lo que resta del artículo, vamos a calcular la separación angular entre dos imágenes debida a un efecto de lente gravitatoria generado por una cuerda cósmica.

Para ello, representamos el plano complejo “cortado” e identificados los lados de los cortes como explicamos antes, para dotarlo de geometría conica.

Esquema del trazado de rayos para el efecto de lente gravitatoria de una cuerda cósmica

Llamamos ds a la distancia del eje del cono, donde se sitúa la cuerda perpendicular al plano, a la fuente y do a la distancia al observador, situado en linea recta con la cuerda y la fuente. S y S’ serán las dos fuentes virtuales creadas debido a las dos geodésicas posibles, que serán las lineas SO y S’O.

En este esquema, la separación angular entre las dos imágenes es:

Mientras que el defecto del ángulo del cono es la suma de los ángulos exteriores para los triángulos SAO y S’AO:

Consideraremos ahora que, como Δ<<1, el resto de ángulos también cumpirán esta condición y que, a la vista de la construcción de triángulos de la figura:

De manera que, tomando sinx ~ x y despejando α‘ y β‘:

Y, por tanto:

Donde observamos que el mayor ángulo de separación posible se da cuando ds tiende a infinito.

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