En una galaxia, las estrellas rotan alrededor del centro galáctico

En el día de hoy está organizándose un gran revuelo en la blogosfera española debido a la reseña publicada por Alt1040 de otra reseña, esta vez de Physorg, sobre el preprint que A. Carati publicó la semana pasada en Arxiv.

El asunto en cuestión radica en que el matemático italiano ha propuesto un modelo que, según él, es capaz de ajustar las curvas de rotación galácticas sin necesidad de suponer la existencia de materia oscura y este hecho, el intentar tirar por borda una de las hipótesis más arraigadas de la física pone cachondos a muchos comentaristas en algunos agregadores sociales. Pero… ¿tiene el artículo de Carati alguna relevancia real? ¿Está desmoronando, por enésima vez en lo que va de año, los pilares de la física?

El problema con las curvas de rotación galácticas viene de largo. Como todos sabréis, el modelo más usual de galaxia es un conjunto de masa (estrellas en su mayoría) dispuestas en forma elíptica o espiral. El hecho de que sea una u otra no es relevante porque en ambas se cumple una propiedad, que todas las estrellas orbitan alrededor del centro de masas de la galaxia, sito en su centro. Debido a esto, y mediante el uso de mecánica newtoniana sencilla, se puede predecir la dependencia de la velocidad de órbita de una estrella concreta con su distancia al centro galáctico, una dependencia que se representa gráficamente en lo que se conoce como curva de rotación.

Sin embargo, observaciones de precisión a finales de los años 50 hicieron notar que las curvas de rotación de las galaxias observadas no seguían el modelo predicho por la mecánica si no que, para poder ser explicadas sin romper las leyes de la física había que asumir la existencia de una ingente cantidad de masa que, por alguna razón, no emitía luz y que, por tanto, se denominó materia oscura. Vamos, que lo de oscura no hace referencia a ningún ente mágico o paranormal, simplemente hace referencia a que no la vemos.

En azul la curva dada por la mecánica newtoniana, en rojo la observada y explicable si se introduce más masa en el sistema

Hasta aquí la historia, que renace esta semana con el preprint de Carati en el que lo que lo matemático italiano propone es un modelo donde, supuesta una distribución fractal de masa en las galaxias y aplicando las leyes de la relatividad general, se pueden obtener curvas de rotación que se ajustan fielmente a la realidad. ¿SIginifica esto que un matemático ha dejado en evidencia a todos los físicos teóricos y astrofísicos del mundo? Vayamos por partes.

Primero, he de decir que este no es ni el primer ni el último modelo que ajusta las curvas de rotación galácticas sin necesidad de introducir materia oscura. En los 80 surgió lo que se conoce como Dinámica de Newton Modificada, que es capaz de obtener curvas de rotación casi perfectas a costa de modificar la segunda ley de Newton por la introducción de un término extra. Y mucho mejor que la teoría de Carati.

Bullet Cluster. Los contornos indican la posición de la masa, que no se corresponde unicamente con la masa visible

Ahora pues, ¿por qué se sigue aceptando la materia oscura como la solución a todos nuestros males? Pues porque las curvas de rotación no son la única evidencia que tenemos de su existencia. Observaciones de lensing gravitatorio (recomiendo leer el excelente artículo de Darksapiens sobre el tema en Amazings) en el conocido como Bullet Cluster ponen en evidencia que existe masa que no vemos pero que presenta efectos gravitatorios sobre los objetos cercanos. Así mismo, observaciones cosmológicas (como anisotropías en el fondo cósmico de microondas) nos vuelven a decir que necesitamos más masa en el universo, pero que no la vemos.

Así mismo, centrándonos en la teoría de Carati, este expone la necesidad previa de una distribución fracta de la masa galáctica… algo que no observamos, por lo que su teoría sólo podría ser cierta si hubiese masa dispuesta de esa forma pero que no es observable… ¿os suena el cuento? Pues sí, el propio Carati llega a la necesidad de la materia oscura incluso cuando intenta negarla.

Con todo esto no quiero decir que la materia oscura sea una realidad firme que debemos creernos a pies juntillas, si no que es una hipótesis sólida y que, en ciencia, hay que ser escépticos y no creerse el primer paper prometedor que encontramos (más aún cuando no está ni publicado en una revista con revisión de pares, es sólo un preprint) ni montar revuelos estúpidos.  La ciencia es un tema que avanza despacio y que, pese a lo que la cultura pop muestra, no ha sido creada por cuatro revolucionarios con ideas rompedoras, si no por el trabajo de miles de científicos y sus publicaciones. Y aquí se aplica lo de que 1000 mentes piensas mejor que una.

Actualización

Después de leerme el artículo de Carati con más calma, veo que entre sus premisas contiene un razonamiento circular. Está intentando demostrar que los efectos de la masa a gran distancia pueden explicar las curvas de rotación galácticas, pero para ello parte de la Ley de Hubble, cuya demostración general implica haber despreciado efectos a larga distancia (lo que los físicos llamamos quedarnos a primer orden)… luego está intentando demostrar una hipótesis partiendo de un razonamiento que contiene la negación de esa misma hipótesis.

Si os interesa, lo tenéis disponible en Arxiv, pero os dejo aquí el abstract

Dielectric 5-Branes and Giant Gravitons in ABJM

We construct a supersymmetric NS5-brane wrapped on a twisted 5-sphere expanding in the $CP^3$ in $AdS_4\times CP^3$, with D0-brane charge. This configuration provides a realization of the stringy exclusion principle in terms of giant D0-branes. In the maximal case the twisted 5-sphere reduces to a $CP^2$ and its energy can be accounted for both by a bound state of $k$ D4-branes wrapping the $CP^2$ and a bound state of $N$ D0-branes, a realization on the gravity side of the symmetry of Young diagrams with $N$ rows and $k$ columns. We discuss some generalizations of this configuration in M-theory carrying angular momentum, some of them with an interpretation as giant gravitons. We provide the microscopical description that allows to explore the region of finite ‘t Hooft coupling.

He de confesar públicamente que uno de mis pasatiempos favoritos son los videojuegos y, en lo enorme de su variedad, disfruto especialmente con aquellos en los que la lógica y la agudeza mental constituyen el ingrediente principal; juegos que, por desgracia, en los últimos años han caído en el olvido fruto de la fagocitosis cinematográfica que el octavo arte está sufriendo. Por todo ello, ha sido una grata sorpresa el jugar a Braid. Si bien es un juego que ya tiene unos años, hasta ahora no había tenido oportunidad de jugarlo y, una y mil veces, no me arrepiento de su compra, pese a lo corto que se puede hacer si uno tiene la cabeza engrasada y funcionando.

Ahora bien… Os estaréis preguntando a qué narices viene hablar de videojuegos en un blog tan orientado a la física y tan técnico como este… Pues la razón no es otra que la principal característica del juego, jugar con el tiempo.

Ya en los primeros niveles descubrimos que la habilidad de nuestro protagonista no es otra que ser capaz de invertir la dirección de la flecha del tiempo, volviendo atrás sobre sus pasos y siendo capaz de enmendar sus errores. Y no sólo eso, si no que conforme avanza en el progreso de la búsqueda de su princesa, los nuevos mundos que encontramos llevan cada vez más al extremo lo retorcido del juego con el tiempo, incluyendo objetos que no se ven afectados al retroceder (estarían fuera del tiempo, como Bart y Milhouse en aquella Casa del Terror…) o el asunto que ha provocado que escriba este post, el paralelismo de la flecha del tiempo con la dirección de nuestro personaje.

Me explico, llegados al Mundo 4 de la aventura nos encontramos con una cosa muy curiosa, además de poseer la habilidad propia de nuestro protagonista, el flujo del tiempo se comporta de una manera muy peculiar, pues transcurre normal cuando uno se desplaza hacia la derecha, pero… ¡se invierte si nos desplazamos hacia la izquierda! Así, cuando nuestro monigote se desplaza hacia la izquierda de la pantalla en su mundo bidimensional, se encuentra con que los enemigos vuelven a la vida pese a haberles machacado los sesos con sus zapatos y que las puertas que abrió vuelven a cerrarse… Algo verdaderamente curioso y que me llevó a preguntarme… ¿Sería posible crear un mundo como este? ¿Permite la Relatividad General construir el mundo 4 del Braid?

Como muchos sabréis, la Relatividad General representa la generalización de la Especial, generalización en el sentido de que elimina las restricciones de esta. Si bien en Relatividad Especial la métrica debía tener una forma característica, en la teoría General se admite cualquier tipo de métrica, aunque quizás luego nos encontremos con que es imposible tener el contenido de materia que deforma el espacio y el tiempo de esa manera concreta. Así, muchos estudios sobre viaje MRL o motores Warp comienzan proponiendo la forma de la métrica y buscando a continuación qué distribución de materia necesitamos, encontrándose en la mayoría de los casos con la necesidad de la famosa materia exótica.

Así pues, nosotros seguiremos este camino para intentar construir el Mundo 4. Para ello propondremos una métrica en 3 dimensiones (dos espaciales, correspondientes al mundo bidimensional del juego y una temporal) escrita de manera conveniente para reflejar lo que en el juego se observa. Esta métrica tomará la siguiente forma

Lo único que se  ha hecho es tomar la métrica de Minkowsky y multiplicar la componente temporal por un vector unitario en el sentido de la velocidad, de manera que cuando Tim (nuestro protagonista) se desplace hacia la derecha obtengamos la métrica de Minkowsky, mientras que cuando se desplace hacia la izquierda el tiempo se invierta. Sencillo ¿no?

Una vez tenemos la métrica, llega la hora de jugar. Sí, es verdad, este es un mundo que quizás nunca exista (eso lo dejo para el final, para no matar la esperanza ) pero aún así es interesante tratar de hacer física en él. ¿Por qué? Pues porque los que nos dedicamos a cosas relacionadas con la Relatividad General, muchas veces nos encontramos con expresiones de métricas nuevas o extrañas y por tanto, esta tontería que estamos haciendo resulta un buen campo de entrenamiento. Además, somos unos frikazos, admitámoslo

Los Rayos de Luz

Una de las primeras cosas que uno se plantea en estos casos es… ¿qué pasa con la luz? Además de por lo sencillo del cálculo, la trayectoria de los rayos de luz en un sistema físico es fundamental, pues indica el límite de causalidad del sistema, es decir, el límite a partir del cual los objetos no pueden influir ni ser influidos (en) por el sistema.

En nuestro caso, lo que nos encontramos al calcular la trayectoria de los rayos de luz (o lo que es lo mismo, buscar la curva para la que ds=0) suponiendo que el rayo de luz viajase en la horizontal (y por tanto con dy=0) es lo siguiente:

donde V es la velocidad del rayo de luz.

Como se puede comprobar fácilmente, esta ecuación sólo tiene solución en el caso de que V=1, lo cual implica varias cosas.

La primera y más obvia, que los rayos de luz se mueven a la velocidad de la luz (Capitán Obvio al rescate). En este caso encontramos que V=1, pero, si os fijais en la métrica, veréis que, acompañando al tiempo, donde debería haber una c, no hay nada, o mejor dicho, hay un uno. Esto es debido a que he utilizado el sistema de unidades llamado natural, en el que c=G=1. Por tanto, en este sistema de unidades, 1 es la velocidad de la luz y los rayos de luz hacen honor a su nombre reventando velocímetros.

¿Me atrevo con los conejos o me meto pa lo negro?

La otra consecuencia de lo particular de este mundo es mucho más divertida. Como he dicho, V=1 es la única solución de la ecuación. Es decir, V=-1 no es una solución posible y, por tanto, los rayos de luz ¡no se pueden propagar de derecha a izquierda! Si bien este es un resultado lógico a fin de salvaguardar el Principio de Causalidad (los rayos de luz no pueden viajar al pasado), nuestro aventurero rescataprincesas y no fontanero no podría ver nada de lo que tuviese a su derecha, pues sólo se encontraría un negro infinito del que la luz no podría escapar hacia la izquierda a fin de llegar a sus ojos y permitirle ver, se encontraría un horizonte de sucesos que tendría que cruzar a fin de observar lo que le espera. Vamos… que tendría un futuro muy negro.

Geodésicas

Vale, está claro que la luz tiene prohibido ir hacia atrás… pero ¿qué hay de Tim? ¿Podrá nuestro héroe dar la vuelta para poder resolver los puzles que surgen en su aventura? ¿O tendrá que tirar palante y que sea lo que FSM quiera?

Para poder conocer las respuestas a estas preguntas debemos calcular las geodésicas de este espacio-tiempo, es decir, las curvas que siguen los objetos que se mueven libres en él. Para ello, planteamos sencillamente el funcional de longitud del espacio-tiempo:

donde se han obviado los pasos intermedios de calcular ds, y los signos menos y más en el interior de la raíz se corresponden con moverse hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.

Variando este funcional llegamos a las Ecuaciones de Euler-Lagrange, o ecuaciones del movimiento, que convenientemente escritas resultan en:

Un sencillo sistema de ecuaciones diferenciales. Solucionándolo uno se encuentra que en el caso de moverse hacia la derecha las trayectorias son líneas rectas (como era de esperar, pues la métrica se reduce a la de Minkowsky) pero, si lo que hacemos es movernos a la izquierda nos encontramos con que ¡no existen geodésicas! Es decir ¡es imposible viajar hacia la izquierda e ir al pasado! O, interpretándolo de una manera correcta, nos llevaría tiempo o energía infinita viajar al pasado y, por tanto, está prohibido… lo cual es un gran problema para Tim…

¿Es posible este mundo?

Después de intentar comprender cómo sería la física de este mundo cabe preguntarse… ¿es posible construirlo?

Pobre Tim... con lo alegre que está pisando cabezas y lo que le maltrata la física...

Para encontrar esta respuesta debemos mirar a las ecuaciones de Einstein, las cuales relacionan la curvatura del espacio-tiempo con la materia y energía que este contiene. Así, calculando el Tensor de Einstein de nuestro mundo 4 a través de la métrica y comparándolo con el tensor de energía e impulso, nos encontramos con que, en principio, este podría ser creado por chorros de momento (o materia) entrando por la perpendicular de la pantalla de nuestro ordenador (vamos, que necesitaríamos una dimensión adicional para hacer realidad nuestro sueño) y saliendo por la vertical, como una fuente de partículas masivas que entrase en nuestro televisor y se esparciese por la pantalla. Sin embargo, nos encontramos un problema, porque la cantidad exacta de momento que ha de fluir por segundo al interior de la pantalla depende de la derivada del modulo de la velocidad respecto a x en el origen, el punto que representa el cambio entre ir hacia la derecha o hacia la izquierda… donde no existe pues… ¡hay una singularidad! Por tanto, es imposible aportar a nuestra tele el flujo de partículas correcto y permitirle a Tim viajar al pasado sin más que caminar… parece ser que lo tendrá más difícil para resolver sus puzzles..

Incluso aunque este mundo fuese posible, nos encontraríamos con que el punto x=0 presenta un horizonte que no nos permite ver el futuro pero que, a su vez, nos atrae inevitablemente, pues no podemos movernos hacia el pasado… por desgracia, y pese a lo increíble que es Braid, en la vida real Tim se vería siempre obligado a tirar palante sin pensar en las consecuencias… destrozando la maravillosa lógica que encierran los puzles del videojuego…

Sin embargo, para terminar quiero que os quedéis con un mensaje:

Las leyes de la Física que el hombre ha construido son tan sumamente poderosas que nos permiten comprender realidades que no existen.

Hasta otra

PD: Espero haberos hecho pasar un buen rato y, si no habéis jugado a Braid, vale dos duros, así que ¡jugadlo leñe!

Lo primero es anunciaros que, junto a la vuelta a la vida de este blog, nace una nueva revista de divulgación científica en la que el menda colabora. Creo que sobra la introducción si menciono que es nada más y nada menos que la revista lanzada por Amazings.es, lo que es una garantía de calidad para cualquiera que conozca el blog en cuestión. Como podeis ver en el bloque que adorna el lateral del blog, la distribución de la revista se llevará a cabo por Lánzanos.com si se llega a la recaudación de 16.000€, o mejor dicho, a 2000 números encargados. Si os gusta la ciencia (y si no… ¿qué haceis aquí? ) no deberíais perdedor la oportunidad de haceros con esta maravilla de 100 páginas a todo color y sin publicidad.

Revista Amazings, ¡¡Hazte con ella!!

Lo segundo, definir un poco lo que os vais a encontrar a partir de ahora en este humilde blog. Como su propio nombre lo indica, Stringers nación con la idea de transmitir no sólo física, si no también mis precarios conocimientos sobre Teoría de Cuerdas, tema en el que me estoy especializando. Como cada vez día que pasa me encuentro más comentarios que me dan vergüenza ajena sobre esta teoría (incluso de titulados en física), tantos que finalmente he decidido aportar mi granito de arena en la divulgación de este tema tan suculento. Por ello, intercalado con mis posts habituales, es mi intención presentar una especia de “curso” (aunque no es la palabra más idónea) introductorio de Teoría de Cuerdas para todos aquellos que quieran aprender de qué va “esa cosa de las dimensiones adicionales” y, por supuesto, sin perder nuestra tónica habitual en Stringers de intentar ir más allá de la simple divulgación. A este cursillo he decidido titularlo Enredados.

Y así está la cosa, la verdad es que tengo muchas cosas en la cabeza, pero os iréis enterando en su debido momento. Por ahora, y sin daros más la vara, comenzamos con el capítulo 0 de esta primera sección titulada: La Teoría Bosónica de Cuerdas

Enredados 1.0: La Teoría Bosónica de Cuerdas

Introducción

La Teoría de cuerdas nació en los años 60 como un intento de explicar las interacciones entre quarks y antiquarks para formar partículas llamadas mesones. En aquella época, como ahora, la investigación sobre el origen y la composición de la materia se concentraba en el CERN, en Ginebra, y su monstruoso acelerador. Allí, el físico Gabrielle Veneziano encontró que ciertos términos de amplitud de intercambio entre estados que aparecían en las colisiones entre protones podían entenderse como si los componentes de la partícula resultante, un mesón, estuviesen unidos mediante cuerdas. Coloquialmente, lo que ocurría era que la interacción entre el quark y el antiquark que componen el mesón era más fuerte conforme se alejaban entre sí, y no sólo eso, si no que la proporción de magnificación de la fuerza era exactamente la misma que para la fuerza elástica dada por una cuerda ideal sin masa.

Con esta observación, los físicos teóricos de la época comenzaron a trabajar en la construcción de un modelo consistente que describiese las cuerdas que unían a los quarks. Puede parecer mentira, pero a mediados del Siglo XX algo tan sencillo como la descripción física de una cuerda no existía. Se conocían las propiedades que debía tener un sistema de este tipo en un entorno clásico no relativista, pero como Albert Einstein demostró a principios de ese mismo siglo, las reglas de la mecánica clásica no son las que rigen el Universo, y llegados los 60 aún no existía una teoría de la cuerda relativista, entre otras cosas porque no existía la necesidad de esa teoría y porque no era tan trivial como podría parecer.

A lo largo de esta primera serie de artículos hablaremos de la construcción de este modelo de cuerda relativista tal cual se formuló para su uso en la interacción fuerte. Mostraremos no sólo sus puntos fuertes, si no también sus debilidades, como la necesidad de un espaciotiempo ¡¡26 dimensional!! o la aparición de una partícula de spín 2 no esperada.

Hablaremos de la acción de la cuerda relativista como generalización de la de la partícula relativista, estudiaremos la aparición de hiperplanos llamados Dp-branas a los que las cuerdas se adhieren, así como de los modos de vibración de estas y las partículas que a ellos se asocian tanto para cuerdas cerradas como abiertas.

Finalmente, cerraremos la sección intentando esclarecer el paso que Scherk y Schwarz llevaron a cabo en los primeros 70, cuando la teoría de cuerdas parecía estar en desgracia y resucitó al encontrar en ella estos dos físicos una teoría de gravitación cuántica más consistente que ninguna antes propuesta.

Esta es mi declaración de intenciones, espero que os deje satisfechos. Mañana, el primer capítulo

La Teoría de Cuerdas, en realidad no es una locura tan grande

Nuestro modelo cosmológico actual es el Modelo del Big Bang

Desde el principio de los tiempos, el hombre ha buscado comprender cómo está constituido el Universo en el que vive, construyendo, conforme avanza su intelecto, teorías cada vez más refinadas y completas, compatibles con las observaciones que la ciencia moderna permite realizar. En nuestra historia, hemos pasado desde los modelos pueriles de la tierra plana y el Universo geocéntrico a los ya basados en evidencias empíricas como el modelo copernicano y, modernamente, el modelo del Big Bang. Y es este último, por ser a su vez el más completo y el más sorprendente, el que levanta más discusiones e incredulidad entre los aficionados a la ciencia (y a los clónicos libros de Stephen Hawking) e incluso entre los propios físicos (he llegado a escuchar a todo un catedrático de Física Teórica decir que el Big Bang era un invento). Sin embargo, muy pocos se detienen a pensar que el modelo de la gran explosión es una herencia directa del trabajo de Albert Einstein y su famosa Teoría de la Relatividad General (a todo aquél que no lo haya leído, le recomiendo echarle un ojo a este artículo antes de atreverse con el presente).

Si bien suponemos que todas las interacciones de nuestro Universo están generadas por cuatro fuerzas fundamentales, tres de ellas tienen un límite de acción demasiado corto, lo que provoca que, a gran escala, la dinámica del Universo venga regida únicamente por la cuarta de estas fuerzas: la Gravedad; y , por tanto, sea la Teoría de la Relatividad la que debería permitirnos construir nuestro modelo de Universo, al menos en una aproximación bastante útil en la que se excluyan efectos locales.

Os recuerdo, que el espaciotiempo surgido de la Relatividad General (en realidad, su curvatura) viene dominado por un ente llamado Tensor de Energía Momento y que da cuenta de la distribución de materia y energía en el sistema que se desea modelar, en este caso el Universo completo. Por ello, es necesario plantearse y resolver una pregunta fundamental si deseamos construir un modelo cosmológico: ¿Qué distribución de materia hay nuestro Universo? Pese a lo que pueda parecer, esta pregunta no es trivial y es, de hecho, el núcleo del problema de la cosmología.

Actual mente aceptamos un modelo de Universo basado en lo que se conocen como “Hipótesis de Fridman”, formuladas principalmente, aunque no en solitario, por el físico ruso Aleksandr Aleksándrovich Fridman. Si bien estas hipótesis llevan su nombre, no constituyen una entelequia salida de su cabeza, si no que atienden a argumentos muy lógicos y sencillos de aceptar.

Nuestro Universo es similar en todas las direcciones.

La primera de estas hipótesis es la de isotropía del Universo y está basada en observaciones experimentales. Si observamos la distribución de estrellas y otros tipos de materia en nuestro Universo, nos encontramos que, pese a diferencias locales, a gran escala podemos decir que esta es isótropa, en el sentido de que, si pudiésemos mirar el Universo desde “muy lejos” no distinguiríamos las zonas individuales, pues todas se presentarían como una amalgama de estrellas y galaxias. Es similar a lo que ocurre con un material cristalino. A pequeña escala podemos diferenciar la posición de átomos individuales en la red que forma el cristal. Sin embargo, a gran escala no podemos hacer estas apreciaciones y el material es igual en todas direcciones. Estamos hablando de isotropía, si lo preferís, en un sentido estadístico.

Modernamente, esta hipótesis está fuertemente apoyada por las medidas de radiación de fondo de microondas que los satélites como WMAP o PLANCK (lanzado el año pasado por la ESA) llevan a cabo.

La segunda de las hipótesis está relacionada directamente con las consecuencias de la primera, y se conoce como Argumento Copernicano. Si aceptamos que, desde la Tierra observamos el Universo con la misma distribución en todas las direcciones, podríamos extrapolar que nuestra posición en el cosmos es, de alguna manera, privilegiada. Sin embargo, el hecho de hallarnos, en realidad, en uno de los brazos externos de nuestra propia galaxia y un cierto sentimiento de humildad ante el Universo, nos llevan a asumir que nuestra posición no tiene nada de especial y que, por tanto, el Universo tendría el mismo aspecto (globalmente) si se observase desde cualquier punto. Es decir, asumimos que es homogéneo.

Una vez llegados a este punto, podemos comenzar a hacer física apoyándonos en estas hipótesis. Así, si acudimos a las Ecuaciones de Campo de Einstein (que determinan la curvatura y forma del Universo en función de la distribución de masa) e introducimos un tensor energía momento que cumpla las dos hipótesis anteriores, es decir, sea homogéneo e isótropo, podemos intentar atacar el problema de la Cosmología. Una vez resueltas las ecuaciones con esta configuración, los resultados son sencillamente sorprendentes.

El primero de ellos es el conocido hecho de la singularidad inicial. Sea cual sea la solución particular de la ecuación que aceptemos como válida para nuestro modelo de Universo nos encontramos con el hecho de que toda la materia de este estuvo en algún tiempo pasado comprimida en un único punto de densidad infinita. Este resultado, a primera vista absurdo, fue demostrado formalmente por Stephen Hawking y Roger Penrose en un trabajo conjunto en el que resolvieron que la aparición de la singularidad era una consecuencia inevitable de la forma de las ecuaciones de la relatividad general y que, por tanto, la propia teoría predecía su límite de aplicabilidad.

El físico inglés Stephen Hawking demostró que todo Universo de Fridman comenzó en una singularidad.

Seguramente, por lo poco aceptable que es asumir infinita una magnitud física y por la extrema confianza que muchos físicos tenían en la teoría de Einstein; hasta los años 50 del siglo pasado hubo muchos detractores de la hipótesis de la singularidad inicial y, de hecho, el término de Big Bang fue acuñado como una mofa (el modelo no era más que una gran explosión) por uno de sus detractores, el astrofísico ingles Fred Hoyle.

El segundo resultado interesante que se extrapola de las ecuaciones de Einstein es que la solución viene determinada por un parámetro libre que aparece en forma de una densidad de energía en el tensor energía momento y que determina el carácter dinámico de las soluciones. En función del valor de esta constante, el Universo descrito por las hipótesis de Fridman puede tener tres tipos de carácter: puede ser estacionario, puede expandirse infinitamente desde la singularidad o puede llegar al punto en que comience a contraerse y se convierta en una nueva singularidad (el Big Crunch).

En su momento, Albert Einstein, movido por motivos religiosos, propuso que el Universo debía ser estacionario, porque lo que fijó el valor de este parámetro, al que denominó constante cosmológica y que más adelante reconoció como el mayor error de su vida, al observar que las evidencias experimentales (como las realizadas por Edwin Hubble) negaban un Universo estático.

Modernamente, asumimos que el valor de esta contante es positivo pero muy cercano a cero y está relacionado con la famosa Energía Oscura. Además, la medida de la constante cosmológica se establece como una de las necesidades fundamentales para la construcción de una teoría cuántica de la gravedad, pues su cálculo a través de las actuales teorías de campos arroja un error frente a las observaciones de más de ¡¡120 órdenes de magnitud!!; en lo que se ha dado a llamar la peor predicción de la física actual.

Como hemos visto, el modelo del Big Bang no es casual ni surgido de la torturada mente de un científico, si no que es una consecuencia inevitable de la Teoría de la Relatividad General y que, además, su comprensión aún presenta problemas derivados del hecho de que no tenemos una Gravitación Cuántica (bueno, pensamos que sí la tenemos en las Teorías de Cuerdas, pero aún no es funcional).

Quién sabe si dentro de treinta años tendremos que modificar seriamente este modelo gracias a nuevas teoría que aún hoy día no podemos imaginar. Sin embargo, hoy día es lo que tenemos y lo que la Ciencia predice, por lo que tendremos que creérnoslo… ¿o no?

Antes de nada, para poder hablar de Relatividad General hay que conocer el lenguaje en el que se expresa; y ese es, por desgracia para algunos, la geometría.

El pilar básico de la relatividad (tanto especial como general) es el concepto de espaciotiempo. Sin embargo, no es un concepto cerrado a la teoría de Einstein, si no que toda teoría física se desarrolla en un marco similar, al que conocemos, en general, por espacio vectorial (con más o menos aditamentos, pero siempre vectorial). Reduciéndonos a lo básico, podemos describir el espacio tiempo como un espacio con cuatro dimensiones que nos ayudan a situar todo evento o, dicho más coloquialmente, cuatro coordenadas que sitúan cualquier suceso en algún lugar y en algún momento, algo así como decir que uno toma un tren a 3 km de su casa, 5 de la de su madre, en el 3º anden y a las 9 de la mañana; una descripción completa del donde y el cuándo dentro de un espacio que podría ser la ciudad; eso es lo que la relatividad necesita para comenzar a trabajar.

Para lo que nos concierne, el espacio de trabajo de la relatividad, conocido como Espacio de Minkowsky, será un espacio vectorial cuatro-dimensional dotado de una métrica, en el que la coordenada temporal se incluye como cuarta componente de los vectores, llamados cuadrivectores, de la forma siguiente:

x^μ=(ct,x,y,z)=(x⁰,x¹,x²,x³)

En muchos campos, una construcción tan sumamente básica es suficiente. Sin embargo, en el caso que nos incumbe, debemos acudir a otro concepto un poco más avanzado y que se denomina métrica. La métrica establece la forma de “medir distancias” en nuestro espacio. Entendámoslo, en el contexto de la relatividad podemos hablar de espacios planos o curvos y caracterizarlos por la forma en que medimos sus distancias. Cuando un espacio es plano, las distancias se miden en línea recta, como si extendiésemos un metro sobre la superficie de un plano; sin embargo, si el espacio tiene geometría esférica, para medir deberíamos extender nuestro metro “sobre” esa esfera, provocando que nuestro resultado sea dependiente de la geometría del espacio. Así, la forma del llamado tensor métrico determina completamente la curvatura de nuestro espacio de trabajo y el cómo medir las distancias. Es decir, la métrica es un identificador de la geometría del espacio de trabajo.

Matemáticamente, estos conceptos se establecen mediante la métrica, un tensor 2 veces covariante. En el caso del espacio plano de la relatividad especial, la métrica emergente se conoce como “métrica de Minkowsky” y se forma de la siguiente manera:

Una vez digeridos estos dos conceptos, es mucho más sencillo enfrentarse a la tesis fundamental de la Relatividad General, pero en lugar de soltarla de sopetón, es mejor seguir la línea de razonamiento que llevó al propio Einstein a reformular la gravedad newtoniana en 1915, la historia del ascensor.

Imaginemos que nos subimos a un ascensor normal y corriente pero que, por azares del destino, justo tras subir olvidamos en qué edificio o incluso planeta nos encontramos. La única referencia que tenemos para conocer nuestra ubicación es el comportamiento de las leyes de la física en el interior del ascensor. A primera vista, cualquiera podría afirmar que, puesto que siente su propio peso, se encuentra en algún lugar de la Tierra, o al menos de un planeta con una aceleración de la gravedad similar… ¿o no? Quizás, en realidad, esté en el interior de una nave espacial que acelera exactamente a un g… o puede que incluso atado al extremo de un peculiar tiovivo, notando la tan famosa fuerza centrífuga…

Y ahí está el meollo del asunto… notamos la gravedad al igual que otras fuerzas de carácter ficticio (como lo es la fuerza centrífuga), fruto de cambios en el movimiento. Luego, quizás la gravedad también es una fuerza, en cierto sentido, ficticia.

Este argumento puede parecer trivial, pero fue lo que llevó a Einstein a formular una nueva teoría de la Gravedad en la que la esta fuerza no aparece representada como una interacción al uso (como la fuerza electromagnética, por ejemplo) si no como una consecuencia de la geometría de nuestro Universo, de ese espaciotiempo que mencionábamos al principio de este artículo.

Así pues, la relatividad general abandona el concepto de espacio inmutable que acompañaba a la física desde los tiempos de Galileo y postula que la masa (y, por ende, cualquier tipo de energía) es capaz de curvar el espaciotiempo a su alrededor, es decir, hacerlo pasar de plano a curvo y, por tanto, modificar la métrica subyacente.

El resultado de este razonamiento es la tan famosa ecuación de campo de Einstein, que, en unidades naturales (c=1 y G=1) es:

Donde E_ik es el llamado Tensor de Curvatura de Einstein, que contiene en su interior la métrica del espaciotiempo de trabajo  g_ik , que en este caso ha dejado de ser la métrica plana de Minkowsky para ser, en general, un tensor simétrico 2 veces covariante cualquiera; y T_ik es el tensor de energía momento, un ente matemático que representa la distribución de masa y energía en el universo tratado.

Así, la ecuación de Einstein relaciona directamente la curvatura del espacio de trabajo, y por tanto, su métrica; con la distribución de energía y masa, es decir, estas últimas curvan el espaciotiempo.

Ahora… ¿cómo influye la curvatura del espacio en el movimiento de los objetos a través de él? Aquí sí conviene recurrir al típico ejemplo. Imaginemos que nuestro espacio curvo no es más que una sábana sobre la que se han colocado varios objetos, provocando que esta se curve en cierto modo. Si intentásemos hacer rodar una pequeña pelota por la sábana, veríamos que se separa de su trayectoria original conforme se acerca a cada objeto, es decir, la curvatura de la sábana modifica su inercia. Algo parecido ocurre con los cuerpos en relatividad. Así, nuestro planeta, envuelto en la curvatura del espacio provocada por el Sol, modifica su trayectoria conforme a esta, resultando las órbitas que cada año recorremos por el espacio.

La masa curva el espaciotiempo, obligando a los cuerpos a modificar su trayectoria.

Hablando de una manera más clara, podríamos hablar de que los cuerpos se mueven libres, sin fuerzas actuando sobre ellos, pero sujetos a la curvatura del espacio. En este caso, el funcional de acción es equivalente al funcional de longitud de la trayectoria, restringido a la curvatura que posea el espacio de trabajo:

donde la forma estricta de ds vendrá dada por la métrica del espacio.

De hecho… ¡esta es la forma general del funcional de acción relativista!

Así, las trayectorias seguidas por los cuerpos serán aquellas que hagan estacionario el funcional anterior, conocidas como geodésicas y que resultan ser, como no podía ser de otra forma, meras líneas rectas en el caso de un espacio plano; pero poseen otra forma en espacios curvos.

En  este punto aparece una de las primeras diferencias notables con la teoría newtoniana. En esta, la luz, puesto que no tiene masa, no se ve afectada por la interacción gravitatoria. Sin embargo, en la teoría de Einstein, todo aquello que se mueva por el espacio se ve afectado por la curvatura de este, por lo que la luz también debe modificar su trayectoria, resultando en lo que hoy día se conoce como lente gravitatoria y que, no sin controversia, supuso una de las primeras comprobaciones experimentales de la teoría del físico alemán.

De esta elegante manera, Albert Einstein formuló una de las teorías más bellas que maneja el ser humano y que, a su vez, nos ha dado más dolores de cabeza a todos los físicos desde su tiempo. Bella porque, leyendo entre líneas, se puede resumir en los dos conceptos de los que he hablado en este artículo, dos sencillas ecuaciones que resumen la complejidad de la interacción gravitatoria; y provocadora de quebraderos cocoteriles debido a que es la única teoría que tenemos que no es cuantizable directamente, es decir, no puede ser aplicada tal cual en el mundo de lo muy pequeño, problema que se ha constituido en el pilar de la moderna física teórica y que, a día de hoy, casi 100 años más tarde y por desgracia, sigue sin resolver, aunque se está intentando fuertemente y parece que ya vemos la luz al final del tunel gracias a las teorías de cuerdas.

Stephen Wolfram: Computing a theory of everything

La primera de estas recomendaciones es la espectacular, no hay otra manera de definirla, charla que Stephen Wolfram, creador del programa Mathematica y de la base de datos Wolfram Alpha impartió en Febrero en el marco de las llamadas TED talks. Veinte minutos tratando un profundo e interesantisimo tema que, a mí al menos, me apasiona, la capacidad de construir un universo completo a través de leyes muy sencillas y el papel que Wolfram Alpha tiene en este campo.

Algún día me decidiré a escribir algún post tratando el tema de los autómatas celulares y las máquinas de Turing con más profundidad, pero, por ahora, creo que esta charla es lo suficientemente interesante como para despertar la curiosidad de alguno:

Wonders of the Solar System

La otra recomendación que os traigo es para aquellos que dominéis la lengua de Shakespeare y seáis aficionados a la Astronomía. Es, ni más ni menos, que la espectacular serie de la BBC “Wonders of the Solar System”, de Brian Cox, el físico al que algunos ya nos damos a llamar el nuevo Carl Sagan, debido a su fantásticos documentales, en los que transmite el mismo entusiasmo infantil por la ciencia que transmitía el legendario divulgador.

Si estáis interesados en tragaros las cinco horas que componen este maravilloso documental sobre nuestro sistema solar, lo podéis encontrar en este canal de Youtube en HD (720p). Os aseguro que no os defraudará, si no que seguramente os maravillará como si aún conservaseis la ilusión de un niño. Wonders of… es un espectacular viaje a través de terreno conocido pero que pasaremos a ver con otros ojos, como si nunca hubiésemos advertido la belleza que encierra cuanto nos rodea, hasta la más sencilla de las cosas. Una obra de arte entre los documentales que será dificil de superar en el futuro.

Disfrutadlo al menos tanto como yo

Vuelvo al ataque sólo unos días después de publicar un post sobre la correspondencia Ads/CFT para mostrar a los incrédulos una de las apuestas más fuertes que existen actualmente para la confirmación experimental de las teorías de cuerdas (que sí leñe, que aunque algunos digan lo contrario sí son medibles): lo que se ha dado a conocer como cuerdas cósmicas.

Este concepto está fuertemente arraigado a los modelos de explicación del Big Bang a través de las teorías de cuerdas, en los que se asume que en los primeros momentos del Universo se generaron cuerdas con suficiente energía como para no ser microscópicas y que se expandieron conforme el espacio se extendía a consecuencia de los periodos de inflación y la inercia dejada por la gran explosión.

De esta manera, se asume que hoy día estas cuerdas tendrían tamaños descomunales (en comparación con las cuerdas microscópicas) capaces de generar efectos macroscópicos como el conocido de lente gravitatoria. Y es de hecho este efecto el que se busca medir a la hora de localizar estos hilos cósmicos, pues debido a curiosidades de la teoría de la relatividad general, estas cuerdas ¡no presentan atracción gravitatoria!, por lo que sería imposible localizarlas buscando su efecto inercial sobre otros objetos.

En efecto, al considerar una cuerda infinitamente larga como modelo a examinar, nos encontramos con que los efectos relativistas provocan que la fuerza atractiva total ocasionada por esta dependa de su tensión en la forma:

donde μ0 es la masa por unidad de longitud de la cuerda, T es su tensión y c es la velocidad de la luz.

Pues resulta que, para cuerdas surgidas de teorías de cuerdas (sí, frase enrevesada) esta resta es nula, por lo que no se ejerce atracción gravitatoria sobre otros cuerpos.

Sin embargo, pese a no ejercer fuerza gravitatoria sobre otro cuerpo, la cuerda sí curva el espacio, por lo que el efecto de lente gravitatoria sí se produce. Pero priemro, examinemos qué significa esto de lente gravitatoria.

La masa curva el espacio y, en consecuencia, la trayectoria de los haces de luz

Cuando situamos un cuerpo en el espacio, según la teoría de la relatividad general, este se curva ante la masa del cuerpo (el típico ejemplo de la pelota en la sábana) provocando que los cuerpos que tengan que pasar junto a eĺ curven su trayectoria debido a que el mismo espacio es curvo, recorriendo lo que se conoce como geodésica, que se puede “interpretar” como el mínimo recorrido que une dos puntos en ese espacio curvado, aunque no tiene porque ser siempre así.

Si bien en un espacio plano, como una hoja de papel, la geodésica es efectivamente el recorrido mínimo entre dos puntos y coincide con una línea recta, en otro tipo de geometrías no tiene por que ocurrir así. Imaginaos una esfera (nuestro querido planeta, por ejemplo) y dos puntos sobre ella. Bajo estas características existen dos geodésicas que unen los dos puntos y que se corresponden con los dos arcos que podemos trazar uniéndolos de manera que la distancia recorrida sea mínima y máxima, llamados círculos máximos. Igual que ocurre esto sobre una esfera, con otras geometrías curvas ocurre lo mismo.

Correctamente enunciado, una geodésica es una curva que vuelve estacionario el funcional de longitud de una curva cualquiera:

con la condición de ligadura dada por la métrica del espacio en el que se trabaje.

De esta manera, si nos encontrásemos con la situación en la que el espacio estuviese curvado de manera que las geodésicas no fuesen únicas y enviásemos un rayo de luz entre dos puntos, este las recorrería todas, debido al gran número de fotones lanzado que elegirían un camino u otro con la misma probabilidad; provocando que nosotros, simples mortales que no podemos advertir la curvatura del espacio, observásemos el haz de luz como proveniente de varios puntos a la vez, uno por cada geodésica recorrida; debido a que interpretamos que el haz siempre ha venido hacia nosotros en línea recta.

Es lógico, por tanto, suponer, que si una cuerda cósmica se interpone entre una fuente de luz y nosotros, la curvatura del espacio ejercido por esta provoque un efecto de lente gravitatoria que seamos capaces de advertir. Concretamente, el efecto gravitatorio creado por la cuerda provoca que, en torno a ella, el espacio sea, topológicamente, un cono; y sobre el cono resulta haber dos geodésicas que la luz es capaz de recorrer.

La curvatura provocada por la cuerda se puede cuantificar según el defecto de ángulo del cono, que no es más que el ángulo que forma el eje de simetría de la figura con su superficie.

Pese a que la figura en 3D es más visual, a la hora de tratar más adelante con este tipo de espacio curvo, conviene describirlo como una identificación sobre el plano complejo.

Tomamos pues, los puntos del plano de la forma Z=x+iy Descrito de esta manera, el cono se construye “recortando” del plano la región S={Z / 0 ≤ Arg(z) ≤ Δ} , donde Δ es el defecto de ángulo del cono y; posteriormente, realizar la identificación Z ~ exp(iΔ)·Z

El defecto de ángulo toma el valor:

donde G es la constante de gravitación universal.

Simulación del efecto de lente generado por una cuerda cósmica. Click para agrandar. Crédito: PhysicsWorld.com

Por tanto, cuando observásemos un objeto con una cuerda cósmica en la trayectoria de nuestra mirada, deberíamos ver este objeto dos veces, con una separación entre ambas imágenes del orden del defecto de ángulo del cono generado por la curvatura del espaciotiempo. Esta doble imagen sería característica de la presencia de una cuerda cósmica, pues otros cuerpos, como estrellas o agujeros negros, curvan el espaciotiempo de manera distinta, generando al menos cuatro imágenes deformadas. Por tanto, una observación de este fenómeno no podría dar lugar a un falso positivo.

En este sentido, el nombre de cuerda cósmica está justificado debido a que son impresionantemente pesadas, pasando a ser objetos macroscópicos aun cuando su efecto es pequeño. Una cuerda de seis kilómetros de longitud cuya separación entre ambas geodésicas es de apenas 4 segundos de arco tendría ¡la masa de la Tierra!. Evidentemente, cuerdas de este calibre no se espera que existan en la naturaleza, por lo que los defectos de ángulo esperados son aún menores y, por tanto, muy difíciles de medir.

Y esta es una de las razones de que todavía no se haya encontrado ninguna cuerda de este tipo. Si bien en los últimos años han surgido muchas imágenes candidatas a estar formadas por un efecto de lente de este tipo, la mayoría han resultado ser dos cuerpos distintos pero muy similares entre sí. Pese a ello, los astrofísicos y los teóricos de cuerdas no perdemos la esperanza de encontrar en los próximos años, y gracias a telescopios cada vez más potentes, como el GTC; evidencias directas de la existencia de este tipo de cuerdas; evidencias que no sólo nos indicarían que las teorías de cuerdas van por buen camino, si no que el modelo del Big Bang es un modelo acertado.

En lo que resta del artículo, vamos a calcular la separación angular entre dos imágenes debida a un efecto de lente gravitatoria generado por una cuerda cósmica.

Para ello, representamos el plano complejo “cortado” e identificados los lados de los cortes como explicamos antes, para dotarlo de geometría conica.

Esquema del trazado de rayos para el efecto de lente gravitatoria de una cuerda cósmica

Llamamos ds a la distancia del eje del cono, donde se sitúa la cuerda perpendicular al plano, a la fuente y do a la distancia al observador, situado en linea recta con la cuerda y la fuente. S y S’ serán las dos fuentes virtuales creadas debido a las dos geodésicas posibles, que serán las lineas SO y S’O.

En este esquema, la separación angular entre las dos imágenes es:

Mientras que el defecto del ángulo del cono es la suma de los ángulos exteriores para los triángulos SAO y S’AO:

Consideraremos ahora que, como Δ<<1, el resto de ángulos también cumpirán esta condición y que, a la vista de la construcción de triángulos de la figura:

De manera que, tomando sinx ~ x y despejando α‘ y β‘:

Y, por tanto:

Donde observamos que el mayor ángulo de separación posible se da cuando ds tiende a infinito.