El primero de ellos, y más intuitivo, se basa en cuánto se tiene que levantar la vista para ver la estrella. Si la altura es negativa se dice que el objeto está por debajo del horizonte y, por tanto, no será visible.

A partir de la altura se define la distancia cenital z como su complementario (a+z=90º). El cénit es el punto de la esfera celeste para el cuál la altura es máxima (a=90º); mientras que para el nadir la altura es mínima (a=-90º).

El acimut, en cambio, es el ángulo que forma el círculo máximo (o meridiano en este caso) que pasa por la estrella con la dirección Sur, y aumenta en el sentido Sur-Oeste-Norte-Este (sentido horario).

Hay que especificar que el acimut no siempre se mide desde el Sur. En navegación y aplicaciones militares suele emplearse el acimut con origen en el Norte, siendo el Sur más propio de la Astronomía. De todas formas, el sentido siempre es horario.

Tanto la altura como el acimut se expresan en grados:

Supongamos ahora que podemos viajar al centro de la Tierra, y desde allí determinar nuevamente la posición de la estrella. En primer lugar podemos asignarle el equivalente a una latitud geocéntrica, esto es, el ángulo que forma el vector de posición de la estrella con el plano del ecuador. A esta especie de “latitud” se la conoce como declinación (δ), y se expresa en grados (positivo hacia el Polo Norte y negativa hacia el Sur).

Una vez especificada la declinación necesitamos otro ángulo más para indicar la posición de la estrella, y éste es el ángulo horario (H). En esta ocasión, es el ángulo sobre el ecuador formado por el meridiano de la estrella y el meridiano del observador sobre la superficie de la Tierra. Como su propio nombre indica, H crece en sentido horario, y a diferencia de todos los ángulos anteriores se mide en horas (360º=24h=2π rad).

He usado esta definición de H para evitar hacer referencia al punto M, que es el punto más alto del ecuador sobre el horizonte. Es en ese punto donde H tiene su origen.

Al sistema de coordenadas que usa la declinación y el ángulo horario se le conoce como sistema de coordenadas horario.

No debemos confundirlo con el sistema ecuatorial. Si bien tanto las coordenadas horarias como las coordenadas ecuatoriales usan la misma definición de declinación, las ecuatoriales emplean la ascensión recta α,  que también se mide sobre el ecuador, en lugar de H. Además, la ascensión recta crece en sentido antihorario desde el punto Aries (nodo ascendente de la eclíptica).

Mediante trigonometría, podemos relacionar los sistemas horizontal y horario:

Siendo Φ la latitud del observador.

No debe extrañarnos que haya más ecuaciones que incógnitas, esto se debe que existen dos valores entre 0 y 360º que satisfacen las ecuaciones para sen(a) y cos(a) de forma independiente, pero sólo una de ellas es común a ambas.

Por ese motivo, sería erróneo dar una única expresión para tanA, porque en una vuelta existen dos ángulos con la misma tangente. Una posible solución, y es la que se usa a la hora de hacer programas, es utilizar la función “atan2”, que podemos encontrar en las hojas de cálculo Excel, por ejemplo.

Una vez explicados los sistemas de coordenadas, veamos cómo podemos calcular las horas de Sol que tendremos. En el momento de la salida (orto) y de la puesta de Sol (ocaso), la altura solar será cero:

Despejando el ángulo horario:

El factor 12/π proviene de la conversión de radianes a horas. En las fórmulas anteriores y en adelante obviaremos los cambios de horas/grados a radianes necesarios.

Si alguno de los valores de H resulta negativo, le sumamos 24h. La fórmula anterior devuelve dos ángulos horarios, el mayor de ellos (H₁) se corresponde con el orto (salida del Sol), mientras que el menor (H₂) corresponde al ocaso.

Además siempre se satisface que H₁+H₂=24^h.

Así pues, las horas que el Sol permanece por encima del horizonte (zonas coloreadas de naranja) son H₂+24h-H₁=2H₂. Obviamente, la duración de la noche (zona azulada) será 24h-2H₂.

Ahora bien, para calcular H₂ necesitaremos conocer la declinación solar, y es aquí donde haremos unas pequeñas aproximaciones:

1-La excentricidad de la órbita terrestre es muy pequeña (del orden de 0.017), es decir, que es muy circular (las órbitas circulares tienen excentricidad cero).

La excentricidad se define como el cociente entre la distancia focal y el semieje mayor. En cifras, una excentricidad de 0.017 implica que el semieje menor de la elipse mide el 99.98% del semieje mayor. 

2-Como consecuencia de ser una órbita circular, la velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol es constante.

(La ecuación de Kepler tiene solución trivial para órbitas sin excentricidad).

3-Como no buscamos una solución muy rigurosa, no vamos a considerar efectos de nutación, precesión general, ni otras correcciones.

Para un propósito tan simple como puede ser saber cuántas horas de Sol tendremos el día “x” en nuestra casa no necesitamos llegar a esos extremos.

4-Finalmente, supondremos que la declinación solar se mantiene fija a lo largo de un día. En realidad la declinación solar está cambiando constantemente (la Tierra no cesa en su movimiento de traslación), pero esos cambios varían poco de un día para otro.

La variación en la declinación es más rápida en los equinoccios y se hace más lenta en los solsticios.

De estas aproximaciones, para el día d-ésimo del año la declinación solar vale:

Los 23.45º son la oblicuidad de la eclíptica, y los 79 días que aparecen restando se deben a que el Equinoccio de Primavera suele caer en 20 de marzo (día 79º del año).

Hasta aquí ya seríamos capaces de calcular las horas de Sol para cualquier día del año: Primero hallamos la declinación solar para el día d del año, después a partir de nuestra latitud Φ calculamos 2H₂.

Ahora bien, por todos es conocido que aún cuando el disco solar ya se ha ocultado (o todavía no ha salido) seguimos teniendo luz, debida difusiones en la atmósfera. Esta luminosidad recibe el nombre de crepúsculo (que puede ser matutino o vespertino).

Por otra parte, los cálculos realizados hasta ahora son válidos para un horizonte despejado (una llanura, por ejemplo). Cuando nos encontremos rodeados de montañas, edificios y otros obstáculos el proceso se complica.

En la próxima entrada, os explicaré cómo podemos tener en cuenta el crepúsculo y los objetos del horizonte para calcular las horas de Sol. Por el momento, espero que os haya gustado este post pensado para el Carnaval de Matemáticas.

En una galaxia, las estrellas rotan alrededor del centro galáctico

En el día de hoy está organizándose un gran revuelo en la blogosfera española debido a la reseña publicada por Alt1040 de otra reseña, esta vez de Physorg, sobre el preprint que A. Carati publicó la semana pasada en Arxiv.

El asunto en cuestión radica en que el matemático italiano ha propuesto un modelo que, según él, es capaz de ajustar las curvas de rotación galácticas sin necesidad de suponer la existencia de materia oscura y este hecho, el intentar tirar por borda una de las hipótesis más arraigadas de la física pone cachondos a muchos comentaristas en algunos agregadores sociales. Pero… ¿tiene el artículo de Carati alguna relevancia real? ¿Está desmoronando, por enésima vez en lo que va de año, los pilares de la física?

El problema con las curvas de rotación galácticas viene de largo. Como todos sabréis, el modelo más usual de galaxia es un conjunto de masa (estrellas en su mayoría) dispuestas en forma elíptica o espiral. El hecho de que sea una u otra no es relevante porque en ambas se cumple una propiedad, que todas las estrellas orbitan alrededor del centro de masas de la galaxia, sito en su centro. Debido a esto, y mediante el uso de mecánica newtoniana sencilla, se puede predecir la dependencia de la velocidad de órbita de una estrella concreta con su distancia al centro galáctico, una dependencia que se representa gráficamente en lo que se conoce como curva de rotación.

Sin embargo, observaciones de precisión a finales de los años 50 hicieron notar que las curvas de rotación de las galaxias observadas no seguían el modelo predicho por la mecánica si no que, para poder ser explicadas sin romper las leyes de la física había que asumir la existencia de una ingente cantidad de masa que, por alguna razón, no emitía luz y que, por tanto, se denominó materia oscura. Vamos, que lo de oscura no hace referencia a ningún ente mágico o paranormal, simplemente hace referencia a que no la vemos.

En azul la curva dada por la mecánica newtoniana, en rojo la observada y explicable si se introduce más masa en el sistema

Hasta aquí la historia, que renace esta semana con el preprint de Carati en el que lo que lo matemático italiano propone es un modelo donde, supuesta una distribución fractal de masa en las galaxias y aplicando las leyes de la relatividad general, se pueden obtener curvas de rotación que se ajustan fielmente a la realidad. ¿SIginifica esto que un matemático ha dejado en evidencia a todos los físicos teóricos y astrofísicos del mundo? Vayamos por partes.

Primero, he de decir que este no es ni el primer ni el último modelo que ajusta las curvas de rotación galácticas sin necesidad de introducir materia oscura. En los 80 surgió lo que se conoce como Dinámica de Newton Modificada, que es capaz de obtener curvas de rotación casi perfectas a costa de modificar la segunda ley de Newton por la introducción de un término extra. Y mucho mejor que la teoría de Carati.

Bullet Cluster. Los contornos indican la posición de la masa, que no se corresponde unicamente con la masa visible

Ahora pues, ¿por qué se sigue aceptando la materia oscura como la solución a todos nuestros males? Pues porque las curvas de rotación no son la única evidencia que tenemos de su existencia. Observaciones de lensing gravitatorio (recomiendo leer el excelente artículo de Darksapiens sobre el tema en Amazings) en el conocido como Bullet Cluster ponen en evidencia que existe masa que no vemos pero que presenta efectos gravitatorios sobre los objetos cercanos. Así mismo, observaciones cosmológicas (como anisotropías en el fondo cósmico de microondas) nos vuelven a decir que necesitamos más masa en el universo, pero que no la vemos.

Así mismo, centrándonos en la teoría de Carati, este expone la necesidad previa de una distribución fracta de la masa galáctica… algo que no observamos, por lo que su teoría sólo podría ser cierta si hubiese masa dispuesta de esa forma pero que no es observable… ¿os suena el cuento? Pues sí, el propio Carati llega a la necesidad de la materia oscura incluso cuando intenta negarla.

Con todo esto no quiero decir que la materia oscura sea una realidad firme que debemos creernos a pies juntillas, si no que es una hipótesis sólida y que, en ciencia, hay que ser escépticos y no creerse el primer paper prometedor que encontramos (más aún cuando no está ni publicado en una revista con revisión de pares, es sólo un preprint) ni montar revuelos estúpidos.  La ciencia es un tema que avanza despacio y que, pese a lo que la cultura pop muestra, no ha sido creada por cuatro revolucionarios con ideas rompedoras, si no por el trabajo de miles de científicos y sus publicaciones. Y aquí se aplica lo de que 1000 mentes piensas mejor que una.

Actualización

Después de leerme el artículo de Carati con más calma, veo que entre sus premisas contiene un razonamiento circular. Está intentando demostrar que los efectos de la masa a gran distancia pueden explicar las curvas de rotación galácticas, pero para ello parte de la Ley de Hubble, cuya demostración general implica haber despreciado efectos a larga distancia (lo que los físicos llamamos quedarnos a primer orden)… luego está intentando demostrar una hipótesis partiendo de un razonamiento que contiene la negación de esa misma hipótesis.

Nuestro modelo cosmológico actual es el Modelo del Big Bang

Desde el principio de los tiempos, el hombre ha buscado comprender cómo está constituido el Universo en el que vive, construyendo, conforme avanza su intelecto, teorías cada vez más refinadas y completas, compatibles con las observaciones que la ciencia moderna permite realizar. En nuestra historia, hemos pasado desde los modelos pueriles de la tierra plana y el Universo geocéntrico a los ya basados en evidencias empíricas como el modelo copernicano y, modernamente, el modelo del Big Bang. Y es este último, por ser a su vez el más completo y el más sorprendente, el que levanta más discusiones e incredulidad entre los aficionados a la ciencia (y a los clónicos libros de Stephen Hawking) e incluso entre los propios físicos (he llegado a escuchar a todo un catedrático de Física Teórica decir que el Big Bang era un invento). Sin embargo, muy pocos se detienen a pensar que el modelo de la gran explosión es una herencia directa del trabajo de Albert Einstein y su famosa Teoría de la Relatividad General (a todo aquél que no lo haya leído, le recomiendo echarle un ojo a este artículo antes de atreverse con el presente).

Si bien suponemos que todas las interacciones de nuestro Universo están generadas por cuatro fuerzas fundamentales, tres de ellas tienen un límite de acción demasiado corto, lo que provoca que, a gran escala, la dinámica del Universo venga regida únicamente por la cuarta de estas fuerzas: la Gravedad; y , por tanto, sea la Teoría de la Relatividad la que debería permitirnos construir nuestro modelo de Universo, al menos en una aproximación bastante útil en la que se excluyan efectos locales.

Os recuerdo, que el espaciotiempo surgido de la Relatividad General (en realidad, su curvatura) viene dominado por un ente llamado Tensor de Energía Momento y que da cuenta de la distribución de materia y energía en el sistema que se desea modelar, en este caso el Universo completo. Por ello, es necesario plantearse y resolver una pregunta fundamental si deseamos construir un modelo cosmológico: ¿Qué distribución de materia hay nuestro Universo? Pese a lo que pueda parecer, esta pregunta no es trivial y es, de hecho, el núcleo del problema de la cosmología.

Actual mente aceptamos un modelo de Universo basado en lo que se conocen como “Hipótesis de Fridman”, formuladas principalmente, aunque no en solitario, por el físico ruso Aleksandr Aleksándrovich Fridman. Si bien estas hipótesis llevan su nombre, no constituyen una entelequia salida de su cabeza, si no que atienden a argumentos muy lógicos y sencillos de aceptar.

Nuestro Universo es similar en todas las direcciones.

La primera de estas hipótesis es la de isotropía del Universo y está basada en observaciones experimentales. Si observamos la distribución de estrellas y otros tipos de materia en nuestro Universo, nos encontramos que, pese a diferencias locales, a gran escala podemos decir que esta es isótropa, en el sentido de que, si pudiésemos mirar el Universo desde “muy lejos” no distinguiríamos las zonas individuales, pues todas se presentarían como una amalgama de estrellas y galaxias. Es similar a lo que ocurre con un material cristalino. A pequeña escala podemos diferenciar la posición de átomos individuales en la red que forma el cristal. Sin embargo, a gran escala no podemos hacer estas apreciaciones y el material es igual en todas direcciones. Estamos hablando de isotropía, si lo preferís, en un sentido estadístico.

Modernamente, esta hipótesis está fuertemente apoyada por las medidas de radiación de fondo de microondas que los satélites como WMAP o PLANCK (lanzado el año pasado por la ESA) llevan a cabo.

La segunda de las hipótesis está relacionada directamente con las consecuencias de la primera, y se conoce como Argumento Copernicano. Si aceptamos que, desde la Tierra observamos el Universo con la misma distribución en todas las direcciones, podríamos extrapolar que nuestra posición en el cosmos es, de alguna manera, privilegiada. Sin embargo, el hecho de hallarnos, en realidad, en uno de los brazos externos de nuestra propia galaxia y un cierto sentimiento de humildad ante el Universo, nos llevan a asumir que nuestra posición no tiene nada de especial y que, por tanto, el Universo tendría el mismo aspecto (globalmente) si se observase desde cualquier punto. Es decir, asumimos que es homogéneo.

Una vez llegados a este punto, podemos comenzar a hacer física apoyándonos en estas hipótesis. Así, si acudimos a las Ecuaciones de Campo de Einstein (que determinan la curvatura y forma del Universo en función de la distribución de masa) e introducimos un tensor energía momento que cumpla las dos hipótesis anteriores, es decir, sea homogéneo e isótropo, podemos intentar atacar el problema de la Cosmología. Una vez resueltas las ecuaciones con esta configuración, los resultados son sencillamente sorprendentes.

El primero de ellos es el conocido hecho de la singularidad inicial. Sea cual sea la solución particular de la ecuación que aceptemos como válida para nuestro modelo de Universo nos encontramos con el hecho de que toda la materia de este estuvo en algún tiempo pasado comprimida en un único punto de densidad infinita. Este resultado, a primera vista absurdo, fue demostrado formalmente por Stephen Hawking y Roger Penrose en un trabajo conjunto en el que resolvieron que la aparición de la singularidad era una consecuencia inevitable de la forma de las ecuaciones de la relatividad general y que, por tanto, la propia teoría predecía su límite de aplicabilidad.

El físico inglés Stephen Hawking demostró que todo Universo de Fridman comenzó en una singularidad.

Seguramente, por lo poco aceptable que es asumir infinita una magnitud física y por la extrema confianza que muchos físicos tenían en la teoría de Einstein; hasta los años 50 del siglo pasado hubo muchos detractores de la hipótesis de la singularidad inicial y, de hecho, el término de Big Bang fue acuñado como una mofa (el modelo no era más que una gran explosión) por uno de sus detractores, el astrofísico ingles Fred Hoyle.

El segundo resultado interesante que se extrapola de las ecuaciones de Einstein es que la solución viene determinada por un parámetro libre que aparece en forma de una densidad de energía en el tensor energía momento y que determina el carácter dinámico de las soluciones. En función del valor de esta constante, el Universo descrito por las hipótesis de Fridman puede tener tres tipos de carácter: puede ser estacionario, puede expandirse infinitamente desde la singularidad o puede llegar al punto en que comience a contraerse y se convierta en una nueva singularidad (el Big Crunch).

En su momento, Albert Einstein, movido por motivos religiosos, propuso que el Universo debía ser estacionario, porque lo que fijó el valor de este parámetro, al que denominó constante cosmológica y que más adelante reconoció como el mayor error de su vida, al observar que las evidencias experimentales (como las realizadas por Edwin Hubble) negaban un Universo estático.

Modernamente, asumimos que el valor de esta contante es positivo pero muy cercano a cero y está relacionado con la famosa Energía Oscura. Además, la medida de la constante cosmológica se establece como una de las necesidades fundamentales para la construcción de una teoría cuántica de la gravedad, pues su cálculo a través de las actuales teorías de campos arroja un error frente a las observaciones de más de ¡¡120 órdenes de magnitud!!; en lo que se ha dado a llamar la peor predicción de la física actual.

Como hemos visto, el modelo del Big Bang no es casual ni surgido de la torturada mente de un científico, si no que es una consecuencia inevitable de la Teoría de la Relatividad General y que, además, su comprensión aún presenta problemas derivados del hecho de que no tenemos una Gravitación Cuántica (bueno, pensamos que sí la tenemos en las Teorías de Cuerdas, pero aún no es funcional).

Quién sabe si dentro de treinta años tendremos que modificar seriamente este modelo gracias a nuevas teoría que aún hoy día no podemos imaginar. Sin embargo, hoy día es lo que tenemos y lo que la Ciencia predice, por lo que tendremos que creérnoslo… ¿o no?

Antes de nada, para poder hablar de Relatividad General hay que conocer el lenguaje en el que se expresa; y ese es, por desgracia para algunos, la geometría.

El pilar básico de la relatividad (tanto especial como general) es el concepto de espaciotiempo. Sin embargo, no es un concepto cerrado a la teoría de Einstein, si no que toda teoría física se desarrolla en un marco similar, al que conocemos, en general, por espacio vectorial (con más o menos aditamentos, pero siempre vectorial). Reduciéndonos a lo básico, podemos describir el espacio tiempo como un espacio con cuatro dimensiones que nos ayudan a situar todo evento o, dicho más coloquialmente, cuatro coordenadas que sitúan cualquier suceso en algún lugar y en algún momento, algo así como decir que uno toma un tren a 3 km de su casa, 5 de la de su madre, en el 3º anden y a las 9 de la mañana; una descripción completa del donde y el cuándo dentro de un espacio que podría ser la ciudad; eso es lo que la relatividad necesita para comenzar a trabajar.

Para lo que nos concierne, el espacio de trabajo de la relatividad, conocido como Espacio de Minkowsky, será un espacio vectorial cuatro-dimensional dotado de una métrica, en el que la coordenada temporal se incluye como cuarta componente de los vectores, llamados cuadrivectores, de la forma siguiente:

x^μ=(ct,x,y,z)=(x⁰,x¹,x²,x³)

En muchos campos, una construcción tan sumamente básica es suficiente. Sin embargo, en el caso que nos incumbe, debemos acudir a otro concepto un poco más avanzado y que se denomina métrica. La métrica establece la forma de “medir distancias” en nuestro espacio. Entendámoslo, en el contexto de la relatividad podemos hablar de espacios planos o curvos y caracterizarlos por la forma en que medimos sus distancias. Cuando un espacio es plano, las distancias se miden en línea recta, como si extendiésemos un metro sobre la superficie de un plano; sin embargo, si el espacio tiene geometría esférica, para medir deberíamos extender nuestro metro “sobre” esa esfera, provocando que nuestro resultado sea dependiente de la geometría del espacio. Así, la forma del llamado tensor métrico determina completamente la curvatura de nuestro espacio de trabajo y el cómo medir las distancias. Es decir, la métrica es un identificador de la geometría del espacio de trabajo.

Matemáticamente, estos conceptos se establecen mediante la métrica, un tensor 2 veces covariante. En el caso del espacio plano de la relatividad especial, la métrica emergente se conoce como “métrica de Minkowsky” y se forma de la siguiente manera:

Una vez digeridos estos dos conceptos, es mucho más sencillo enfrentarse a la tesis fundamental de la Relatividad General, pero en lugar de soltarla de sopetón, es mejor seguir la línea de razonamiento que llevó al propio Einstein a reformular la gravedad newtoniana en 1915, la historia del ascensor.

Imaginemos que nos subimos a un ascensor normal y corriente pero que, por azares del destino, justo tras subir olvidamos en qué edificio o incluso planeta nos encontramos. La única referencia que tenemos para conocer nuestra ubicación es el comportamiento de las leyes de la física en el interior del ascensor. A primera vista, cualquiera podría afirmar que, puesto que siente su propio peso, se encuentra en algún lugar de la Tierra, o al menos de un planeta con una aceleración de la gravedad similar… ¿o no? Quizás, en realidad, esté en el interior de una nave espacial que acelera exactamente a un g… o puede que incluso atado al extremo de un peculiar tiovivo, notando la tan famosa fuerza centrífuga…

Y ahí está el meollo del asunto… notamos la gravedad al igual que otras fuerzas de carácter ficticio (como lo es la fuerza centrífuga), fruto de cambios en el movimiento. Luego, quizás la gravedad también es una fuerza, en cierto sentido, ficticia.

Este argumento puede parecer trivial, pero fue lo que llevó a Einstein a formular una nueva teoría de la Gravedad en la que la esta fuerza no aparece representada como una interacción al uso (como la fuerza electromagnética, por ejemplo) si no como una consecuencia de la geometría de nuestro Universo, de ese espaciotiempo que mencionábamos al principio de este artículo.

Así pues, la relatividad general abandona el concepto de espacio inmutable que acompañaba a la física desde los tiempos de Galileo y postula que la masa (y, por ende, cualquier tipo de energía) es capaz de curvar el espaciotiempo a su alrededor, es decir, hacerlo pasar de plano a curvo y, por tanto, modificar la métrica subyacente.

El resultado de este razonamiento es la tan famosa ecuación de campo de Einstein, que, en unidades naturales (c=1 y G=1) es:

Donde E_ik es el llamado Tensor de Curvatura de Einstein, que contiene en su interior la métrica del espaciotiempo de trabajo  g_ik , que en este caso ha dejado de ser la métrica plana de Minkowsky para ser, en general, un tensor simétrico 2 veces covariante cualquiera; y T_ik es el tensor de energía momento, un ente matemático que representa la distribución de masa y energía en el universo tratado.

Así, la ecuación de Einstein relaciona directamente la curvatura del espacio de trabajo, y por tanto, su métrica; con la distribución de energía y masa, es decir, estas últimas curvan el espaciotiempo.

Ahora… ¿cómo influye la curvatura del espacio en el movimiento de los objetos a través de él? Aquí sí conviene recurrir al típico ejemplo. Imaginemos que nuestro espacio curvo no es más que una sábana sobre la que se han colocado varios objetos, provocando que esta se curve en cierto modo. Si intentásemos hacer rodar una pequeña pelota por la sábana, veríamos que se separa de su trayectoria original conforme se acerca a cada objeto, es decir, la curvatura de la sábana modifica su inercia. Algo parecido ocurre con los cuerpos en relatividad. Así, nuestro planeta, envuelto en la curvatura del espacio provocada por el Sol, modifica su trayectoria conforme a esta, resultando las órbitas que cada año recorremos por el espacio.

La masa curva el espaciotiempo, obligando a los cuerpos a modificar su trayectoria.

Hablando de una manera más clara, podríamos hablar de que los cuerpos se mueven libres, sin fuerzas actuando sobre ellos, pero sujetos a la curvatura del espacio. En este caso, el funcional de acción es equivalente al funcional de longitud de la trayectoria, restringido a la curvatura que posea el espacio de trabajo:

donde la forma estricta de ds vendrá dada por la métrica del espacio.

De hecho… ¡esta es la forma general del funcional de acción relativista!

Así, las trayectorias seguidas por los cuerpos serán aquellas que hagan estacionario el funcional anterior, conocidas como geodésicas y que resultan ser, como no podía ser de otra forma, meras líneas rectas en el caso de un espacio plano; pero poseen otra forma en espacios curvos.

En  este punto aparece una de las primeras diferencias notables con la teoría newtoniana. En esta, la luz, puesto que no tiene masa, no se ve afectada por la interacción gravitatoria. Sin embargo, en la teoría de Einstein, todo aquello que se mueva por el espacio se ve afectado por la curvatura de este, por lo que la luz también debe modificar su trayectoria, resultando en lo que hoy día se conoce como lente gravitatoria y que, no sin controversia, supuso una de las primeras comprobaciones experimentales de la teoría del físico alemán.

De esta elegante manera, Albert Einstein formuló una de las teorías más bellas que maneja el ser humano y que, a su vez, nos ha dado más dolores de cabeza a todos los físicos desde su tiempo. Bella porque, leyendo entre líneas, se puede resumir en los dos conceptos de los que he hablado en este artículo, dos sencillas ecuaciones que resumen la complejidad de la interacción gravitatoria; y provocadora de quebraderos cocoteriles debido a que es la única teoría que tenemos que no es cuantizable directamente, es decir, no puede ser aplicada tal cual en el mundo de lo muy pequeño, problema que se ha constituido en el pilar de la moderna física teórica y que, a día de hoy, casi 100 años más tarde y por desgracia, sigue sin resolver, aunque se está intentando fuertemente y parece que ya vemos la luz al final del tunel gracias a las teorías de cuerdas.

Los cinturones de Van Allen (Visión de autor)

Cuando hablamos del Sol solemos referirnos a sus excelentes cualidades como benefactor de toda la vida en nuestro planeta. Nuestra estrella es el motor último en asuntos energéticos de cuanto conocemos, absolutamente todo ha venido de ella y de su nuclear capacidad de fusionar Hidrógeno en Helio. Sin embargo, estas mismas monumentales explosiones atómicas que tanto hacen a diario por nuestro moreno veraniego también son causantes de algunos de los daños más importantes que sufre nuestra pequeña canica azul. Hablo, por supuesto, de los daños debidos al viento solar.

Cuando dos átomos de Hidrógeno se unen en eterno matrimonio en el interior de nuestra querida estrella, el resultado no es sólo un pizpireto átomo de Helio, si no que se producen oleadas de energía en forma de neutrones despedidos a altas velocidades hacia las capas altas del astro. En su camino hacia la negrura del espacio, estos neutrones se encuentran con otros átomos, colisionando contra ellos y liberando sus electrones o, incluso, rompiendo sus núcleos. El resultado de todo este aventurero viaje es un plasma altamente energético compuesto de electrones, protones, neutrones y un gran número de fotones de alta energía; cuyo efecto sobre toda criatura viviente sería devastador y mortal.

Sin embargo, cuando nuestras mozas y chulos de playa preferidos se ponen a torrar sus cuerpos en la playa de turno, el único efecto que sobre ellos causa el Sol es un sencillo teñido, nada de dolorosas muertes cancerígenas ni combustiones espontáneas y espectaculares. ¿Qué es pues lo que nos protege de estos peligrosos efectos? ¿Acaso el viento solar evita a los chulos de playa tanto como las chicas de buena conducta?

La respuesta no es esa, si no que nuestro planeta (y prácticamente todos los de nuestro sistema solar) posee un estupendo escudo contra la radiación que nuestra estrella nos envía: su campo magnético.

La composición de la Tierra es muy variada, desde las rocosas capas externas, pasando por los semifluidos mantos y llegando al líquido núcleo, el cual está compuesto en su mayoría de hierro fundido, cuyos movimientos provocan una agitación de los electrones del metal lo suficientemente intensa como para generar un campo magnético que se extiende varios miles de kilómetros sobre la superficie del planeta; componiendo dos cinturones en forma cercana a un ocho, descubiertos en los años 50 por una de las primeras sondas que orbitaron nuestro planeta y conocidos como Cinturones de Van Allen.

Pero claro… de los cinturones de Van Allen ya se ha hablado largo y tendido en muchos sitios, de manera que sólo explicaré su función de una manera sencilla. Concretamente, los cinturones son capaces de retener en su interior las dañinas partículas cargadas que el Sol envía contra nosotros en forma de viento, permitiendo que la vida prospere en la superficie de la Tierra.

El quid de la cuestión es ¿cómo es capaz el campo magnético de la Tierra de atrapar estas partículas? ¿qué misteriosa ley física se lo permite? Pues bien, el efecto culpable de nuestra supervivencia es lo que se conoce como “Botella Magnética”.

Pongámonos en situación, supongamos una partícula viajando en el espacio con velocidad V=(vx,vy,vz) y un campo magnético uniforme B=(0,0,b).

Cuando una partícula con carga eléctrica se encuentra en una zona del espacio donde esté presente un campo magnético, aparecerá sobre ella una interacción conocida como Fuerza de Lorentz y cuyo efecto es dotar a la partícula de velocidad en una dirección perpendicular tanto a la velocidad inicial de la partícula como al campo magnético (que es un ente vectorial y, por tanto, tiene una dirección de aplicación).

La Fuerza de Lorentz provoca que la partícula se mueva en una circunferencia.

Efectivamente, aparece la Fuerza de Lorentz sobre la partícula, la cual tiene la forma

En este caso, con los vectores dados anteriormente, la fuerza tomará la forma:

Si os dais cuenta, esto presenta un comportamiento curioso, porque si el efecto de aplicar la fuerza es “girar” la velocidad y a su vez la fuerza depende de la dirección de esta, lo que obtendremos finalmente es un rizo, es decir, la fuerza comenzará a girar la velocidad de manera continua, obligando a la partícula a describir una circunferencia perpendicular a las lineas de campo magnético.

Como, además, la fuerza de interacción magnética no tiene efecto sobre componentes de la velocidad paralelas a las susodichas lineas, el efecto resultante es que la partícula describirá una espiral en torno a estas, quedando semiconfinada en esa región del espacio.

La dinámica de la partícula es fácil de ver si resolvemos las ecuaciones del movimiento. Teniendo en cuenta la segunda Ley de Newton, podemos escribir la fuerza anterior como:

De manera que obtenemos las tres ecuaciones del movimiento sin más que igualar ambas expresiones de forma vectorial:

La última ecuación nos indica directamente que la velocidad en el eje paralelo al campo es constante.

Las otras dos ecuaciones se pueden reescribir y resolver adecuadamente sin más que realizar una nueva derivada temporal en cada una. Para una partícula que en el instante inicial se encontrase en la posición (0,0,0) y cuya velocidad inicial V formase un ángulo θ con el eje x, el movimiento es de la forma:

Que no son más que las expresiones polares de una circunferencia de radio el módulo de la velocidad. Por tanto, la trayectoria completa será una espiral en torno al eje z, es decir, en torno a una de las lineas de campo magnético.

El efecto de Botella Magnética confina la partícula en torno a las líneas de campo.

De esta manera, cuando una de las partículas de viento solar se encuentra con los cinturones de Van Allen, inmediatamente se ve obligada a dar vueltas alrededor de las lineas de campo, evitándose así que llegue a la superficie y dañe la frágil vida de este pálido punto azul.

Como veis, el mecanismo de defensa de nuestro planeta antes estas severas amenazas es sencillo, pero efectivo; demostrando que, en ciencia, no hace falta irse a los campos de fuerza psíquica o demás maguferías para generar efectos impresionantemente desproporcionados, como es en este caso es el detener el viento solar provocado por la fusión nuclear de toda una señora estrella.

Pero el efecto de botella magnética no es sólo un proceso natural. Como todo en física, los humanos hemos aprendido a adaptar las situaciones a nuestros objetivos y este fenómeno se utiliza a menudo en varios campos de investigación. Tenemos, por ejemplo, en física de partículas, las archiconocidas Trampas de Penning, encargadas de confinar los preciados picogramos de antimateria que se producen todos los años en el CERN. También las naves de larga travesía y algunos satélites llevan generadores de campo magnético con el objetivo de protegerse de la dañina radiación.

Sin embargo, aún no hemos llegado a desarrollar nada tan impresionante como lo que la propia Tierra produce. Sencillamente…a veces la naturaleza es mucho más espectacular de lo que jamás podríamos relatar.

Ayer, 18 de Junio, y tras una semana de gota fría en Asturias que dejó la mayor parte del valle del Nalón inundado; tuvimos un cielo digno de ser observado, por lo que convocamos a los chavales y subimos al cercano monte Naranco, que si bien está junto a Oviedo, en su ladera Norte ofrece un cielo, al menos, aceptable. Una vez allí montamos todo el equipo: tres telescospios hechos a mano por los propios alumnos del curso, un pequeño refractor que alguno de ellos tenía por casa, el celebérrimo Lidelescopio y dos reflectores de focal corta para observación de cielo profundo.

He de comentar que, aunque la experiencia fue muy positiva y creo que al menos conseguimos motivar por la astronomía a la mitad de ellos (unos 10, lo cual ya es un logro con los chavales de hoy en día) el verdadero objetivo de este post es mostrar mis primeros, y malísimos, pinitos en astrofotografía con mi recién comprada Canon EOS 450 D.

Todas las fotos que os muestro a continuación están tomadas con un telescopio Celestron 150 mm #f 5 con montura sin motorizar (lo cual es un gran inconveniente porque me limitó a exposiciones cortas) y una lente Barlow 2x en el caso de la Luna y 3x en el caso de los planetas. Todas están tomadas a foco primario sobre el sensor de la cámara y hay que tener en cuenta que el seeing no era muy favorable.

Actualizo con un enlace a mi album de Flickr de astrofotografía.

Pulsar sobre las fotos para ir a mi perfil de Flickr

La Luna

Dos instantáneas de nuestro satélite, una de ellas mostrando perfectamente el Mar de la Serenidad. Se observa una falta de definición en los bordes del astro debido a la turbulencia atmosférica.

Marte

El planeta rojo. Se puede apreciar la diferencia tonal en superficie debido a la orografía del astro.

Saturno

El señor del los anillos. Una pena que este año este casi paralelos a nosotros.

Venus

El crepúsculo es un buen momento para fotografiar a Venus y observar perfectamente la fase menguante que luc

Espero que os gusten tanto como a mi me satisface ir metiéndome en este mundillo. Y no os metáis mucho conmigo :3

Stephen Wolfram: Computing a theory of everything

La primera de estas recomendaciones es la espectacular, no hay otra manera de definirla, charla que Stephen Wolfram, creador del programa Mathematica y de la base de datos Wolfram Alpha impartió en Febrero en el marco de las llamadas TED talks. Veinte minutos tratando un profundo e interesantisimo tema que, a mí al menos, me apasiona, la capacidad de construir un universo completo a través de leyes muy sencillas y el papel que Wolfram Alpha tiene en este campo.

Algún día me decidiré a escribir algún post tratando el tema de los autómatas celulares y las máquinas de Turing con más profundidad, pero, por ahora, creo que esta charla es lo suficientemente interesante como para despertar la curiosidad de alguno:

Wonders of the Solar System

La otra recomendación que os traigo es para aquellos que dominéis la lengua de Shakespeare y seáis aficionados a la Astronomía. Es, ni más ni menos, que la espectacular serie de la BBC “Wonders of the Solar System”, de Brian Cox, el físico al que algunos ya nos damos a llamar el nuevo Carl Sagan, debido a su fantásticos documentales, en los que transmite el mismo entusiasmo infantil por la ciencia que transmitía el legendario divulgador.

Si estáis interesados en tragaros las cinco horas que componen este maravilloso documental sobre nuestro sistema solar, lo podéis encontrar en este canal de Youtube en HD (720p). Os aseguro que no os defraudará, si no que seguramente os maravillará como si aún conservaseis la ilusión de un niño. Wonders of… es un espectacular viaje a través de terreno conocido pero que pasaremos a ver con otros ojos, como si nunca hubiésemos advertido la belleza que encierra cuanto nos rodea, hasta la más sencilla de las cosas. Una obra de arte entre los documentales que será dificil de superar en el futuro.

Disfrutadlo al menos tanto como yo

Vuelvo al ataque sólo unos días después de publicar un post sobre la correspondencia Ads/CFT para mostrar a los incrédulos una de las apuestas más fuertes que existen actualmente para la confirmación experimental de las teorías de cuerdas (que sí leñe, que aunque algunos digan lo contrario sí son medibles): lo que se ha dado a conocer como cuerdas cósmicas.

Este concepto está fuertemente arraigado a los modelos de explicación del Big Bang a través de las teorías de cuerdas, en los que se asume que en los primeros momentos del Universo se generaron cuerdas con suficiente energía como para no ser microscópicas y que se expandieron conforme el espacio se extendía a consecuencia de los periodos de inflación y la inercia dejada por la gran explosión.

De esta manera, se asume que hoy día estas cuerdas tendrían tamaños descomunales (en comparación con las cuerdas microscópicas) capaces de generar efectos macroscópicos como el conocido de lente gravitatoria. Y es de hecho este efecto el que se busca medir a la hora de localizar estos hilos cósmicos, pues debido a curiosidades de la teoría de la relatividad general, estas cuerdas ¡no presentan atracción gravitatoria!, por lo que sería imposible localizarlas buscando su efecto inercial sobre otros objetos.

En efecto, al considerar una cuerda infinitamente larga como modelo a examinar, nos encontramos con que los efectos relativistas provocan que la fuerza atractiva total ocasionada por esta dependa de su tensión en la forma:

donde μ0 es la masa por unidad de longitud de la cuerda, T es su tensión y c es la velocidad de la luz.

Pues resulta que, para cuerdas surgidas de teorías de cuerdas (sí, frase enrevesada) esta resta es nula, por lo que no se ejerce atracción gravitatoria sobre otros cuerpos.

Sin embargo, pese a no ejercer fuerza gravitatoria sobre otro cuerpo, la cuerda sí curva el espacio, por lo que el efecto de lente gravitatoria sí se produce. Pero priemro, examinemos qué significa esto de lente gravitatoria.

La masa curva el espacio y, en consecuencia, la trayectoria de los haces de luz

Cuando situamos un cuerpo en el espacio, según la teoría de la relatividad general, este se curva ante la masa del cuerpo (el típico ejemplo de la pelota en la sábana) provocando que los cuerpos que tengan que pasar junto a eĺ curven su trayectoria debido a que el mismo espacio es curvo, recorriendo lo que se conoce como geodésica, que se puede “interpretar” como el mínimo recorrido que une dos puntos en ese espacio curvado, aunque no tiene porque ser siempre así.

Si bien en un espacio plano, como una hoja de papel, la geodésica es efectivamente el recorrido mínimo entre dos puntos y coincide con una línea recta, en otro tipo de geometrías no tiene por que ocurrir así. Imaginaos una esfera (nuestro querido planeta, por ejemplo) y dos puntos sobre ella. Bajo estas características existen dos geodésicas que unen los dos puntos y que se corresponden con los dos arcos que podemos trazar uniéndolos de manera que la distancia recorrida sea mínima y máxima, llamados círculos máximos. Igual que ocurre esto sobre una esfera, con otras geometrías curvas ocurre lo mismo.

Correctamente enunciado, una geodésica es una curva que vuelve estacionario el funcional de longitud de una curva cualquiera:

con la condición de ligadura dada por la métrica del espacio en el que se trabaje.

De esta manera, si nos encontrásemos con la situación en la que el espacio estuviese curvado de manera que las geodésicas no fuesen únicas y enviásemos un rayo de luz entre dos puntos, este las recorrería todas, debido al gran número de fotones lanzado que elegirían un camino u otro con la misma probabilidad; provocando que nosotros, simples mortales que no podemos advertir la curvatura del espacio, observásemos el haz de luz como proveniente de varios puntos a la vez, uno por cada geodésica recorrida; debido a que interpretamos que el haz siempre ha venido hacia nosotros en línea recta.

Es lógico, por tanto, suponer, que si una cuerda cósmica se interpone entre una fuente de luz y nosotros, la curvatura del espacio ejercido por esta provoque un efecto de lente gravitatoria que seamos capaces de advertir. Concretamente, el efecto gravitatorio creado por la cuerda provoca que, en torno a ella, el espacio sea, topológicamente, un cono; y sobre el cono resulta haber dos geodésicas que la luz es capaz de recorrer.

La curvatura provocada por la cuerda se puede cuantificar según el defecto de ángulo del cono, que no es más que el ángulo que forma el eje de simetría de la figura con su superficie.

Pese a que la figura en 3D es más visual, a la hora de tratar más adelante con este tipo de espacio curvo, conviene describirlo como una identificación sobre el plano complejo.

Tomamos pues, los puntos del plano de la forma Z=x+iy Descrito de esta manera, el cono se construye “recortando” del plano la región S={Z / 0 ≤ Arg(z) ≤ Δ} , donde Δ es el defecto de ángulo del cono y; posteriormente, realizar la identificación Z ~ exp(iΔ)·Z

El defecto de ángulo toma el valor:

donde G es la constante de gravitación universal.

Simulación del efecto de lente generado por una cuerda cósmica. Click para agrandar. Crédito: PhysicsWorld.com

Por tanto, cuando observásemos un objeto con una cuerda cósmica en la trayectoria de nuestra mirada, deberíamos ver este objeto dos veces, con una separación entre ambas imágenes del orden del defecto de ángulo del cono generado por la curvatura del espaciotiempo. Esta doble imagen sería característica de la presencia de una cuerda cósmica, pues otros cuerpos, como estrellas o agujeros negros, curvan el espaciotiempo de manera distinta, generando al menos cuatro imágenes deformadas. Por tanto, una observación de este fenómeno no podría dar lugar a un falso positivo.

En este sentido, el nombre de cuerda cósmica está justificado debido a que son impresionantemente pesadas, pasando a ser objetos macroscópicos aun cuando su efecto es pequeño. Una cuerda de seis kilómetros de longitud cuya separación entre ambas geodésicas es de apenas 4 segundos de arco tendría ¡la masa de la Tierra!. Evidentemente, cuerdas de este calibre no se espera que existan en la naturaleza, por lo que los defectos de ángulo esperados son aún menores y, por tanto, muy difíciles de medir.

Y esta es una de las razones de que todavía no se haya encontrado ninguna cuerda de este tipo. Si bien en los últimos años han surgido muchas imágenes candidatas a estar formadas por un efecto de lente de este tipo, la mayoría han resultado ser dos cuerpos distintos pero muy similares entre sí. Pese a ello, los astrofísicos y los teóricos de cuerdas no perdemos la esperanza de encontrar en los próximos años, y gracias a telescopios cada vez más potentes, como el GTC; evidencias directas de la existencia de este tipo de cuerdas; evidencias que no sólo nos indicarían que las teorías de cuerdas van por buen camino, si no que el modelo del Big Bang es un modelo acertado.

En lo que resta del artículo, vamos a calcular la separación angular entre dos imágenes debida a un efecto de lente gravitatoria generado por una cuerda cósmica.

Para ello, representamos el plano complejo “cortado” e identificados los lados de los cortes como explicamos antes, para dotarlo de geometría conica.

Esquema del trazado de rayos para el efecto de lente gravitatoria de una cuerda cósmica

Llamamos ds a la distancia del eje del cono, donde se sitúa la cuerda perpendicular al plano, a la fuente y do a la distancia al observador, situado en linea recta con la cuerda y la fuente. S y S’ serán las dos fuentes virtuales creadas debido a las dos geodésicas posibles, que serán las lineas SO y S’O.

En este esquema, la separación angular entre las dos imágenes es:

Mientras que el defecto del ángulo del cono es la suma de los ángulos exteriores para los triángulos SAO y S’AO:

Consideraremos ahora que, como Δ<<1, el resto de ángulos también cumpirán esta condición y que, a la vista de la construcción de triángulos de la figura:

De manera que, tomando sinx ~ x y despejando α‘ y β‘:

Y, por tanto:

Donde observamos que el mayor ángulo de separación posible se da cuando ds tiende a infinito.